Théorème isopérimétrique

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Le théorème isopérimétrique est un résultat d'extrémalité portant sur l'aire d'un domaine enserré par une courbe fermée. Le cercle est la courbe fermée de plus petite longueur enserrant un domaine connexe d'aire donnée. Dit autrement, le cercle est la courbe fermée enserrant un domaine connexe d'aire maximale pour une longueur donnée. Ce fait n'a connu sa première véritable démonstration qu'en 1875 par Schwarz.

Une des méthodes de preuve, connue depuis la démonstration de Hurwitz en 1901 est d'utiliser un résultat d'analyse, issu de la théorie des séries de Fourier, connu sous le nom d'inégalité de Wirtinger.

[modifier] Énoncé du théorème

Soit une courbe fermée définie par une fonction F(t)=(x(t),y(t)) périodique, continûment dérivable. Soient L sa longueur et A l'aire algébrique du domaine qu'elle borne. Alors

$L^2\geq 4\pi A$

De plus il y a égalité si et seulement si la courbe est un cercle.

Enfin le théorème reste vrai quand on suppose la courbe seulement de classe $\mathcal C^1$ par morceaux et continue.

[modifier] Rappel de l'inégalité de Wirtinger

Soit f une fonction 2π-périodique, de moyenne nulle, de classe $\mathcal C^1$ par morceaux et continue. Alors

$\|f\|^2 = \frac1{2\pi}\int_{0}^{2\pi} (f(t))^2 dt \leq \|f'\|^2 = \frac1{2\pi}\int_{0}^{2\pi} (f'(t))^2 dt~$

De plus si ||f||=||f'||, alors f est une fonction sinusoïdale

$f(x)=A\cos(x)+B\sin(x)=C\cos(x+\varphi)$

On trouvera la démonstration dans l'article inégalité de Wirtinger.

[modifier] Démonstration

Soit T la période de la courbe. Rappelons tout d'abord les formules exprimant L et A

$L= \int_0^T \sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2} d t \qquad A = \int_0^T x(t)y'(t) d t$

On effectue un certain nombre de simplifications

changement de paramètre (ce qui ne change pas L ni A)

Pour se débarrasser de la racine carrée dans l'expression de la longueur, on utilise comme paramètre l'abscisse curviligne s, c'est-à-dire que l'arc est parcouru à vitesse uniforme 1. Alors L est aussi égale à l'énergie E définie par

$E= \int_0^T (x'(s)^2+y'(s)^2) d s = L = T$

homothétie (ce qui change L et A sans modifier le rapport $L 2 / A$ )

On se ramène par homothétie à un arc de longueur L=2π=T.

translation (ce qui ne change pas L ni A)

On se ramène à x de valeur moyenne nulle.

On est enfin prêt pour calculer

$L^2-4\pi A = 2\pi (L-2A)=2\pi\int_0^{2\pi} \left(x'(s)^2+y'(s)^2-2x(s)y'(s)\right) ds$

Comme x vérifie les hypothèses de l'inégalité de Wirtinger :

$L^2-4\pi A \geq 2\pi\int_0^{2\pi} \left(x(s)-y'(s)\right)^2 ds\geq 0$

Pour le cas d'égalité : d'une part il faut qu'il y ait égalité dans l'inégalité de Wirtinger, ce qui donne l'expression de x(s). D'autre part pour que cette intégrale s'annule on doit avoir y'(s)=x(s). Ces deux conditions donnent bien un cercle de rayon 1, paramétré à vitesse uniforme. Mais bien sûr tous les cercles sont solutions, quelle que soit la façon de les paramétrer (il faut appliquer en sens inverse les hypothèses simplificatrices).

[modifier] En dimension 3

Le théorème isopérimétrique admet une généralisation en dimension 3.

Le théorème de Jordan affirme que les courbes de Jordan séparent le plan en deux composantes connexes. En dimension supérieure, toute hypersurface connexe est orientable et borde un unique domaine connexe.

Les sphères sont les surfaces compactes connexes qui à aire fixée maximisent le volume intérieur, ou qui, à volume intérieur fixé, minimisent la surface.

L'inégalité en dimension 3 qui lie la surface et le volume d'un domaine compris à l'intérieur d'une surface fermée est :