Disjonction logique
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La disjonction logique, ou disjonction non exclusive de deux événements représente le fait qu'au moins l'un de ces deux événements se produise (l'un, ou l'autre, ou les deux).
Dans le langage logique ou mathématique et dans les domaines techniques qui l'emploient, elle se traduit par le OU logique, un opérateur logique dans le calcul des propositions. La proposition obtenue en reliant deux propositions par cet opérateur s'appelle également leur disjonction, ou leur somme logique. La disjonction de deux propositions P et Q est vraie quand l'une des propositions est vraie, et est fausse quand les deux sont simultanément fausses. La disjonction s'écrit :
- P ∨ Q
et se lit
- « P ou Q »
Le symbole « ∨ » s'appelle connecteur de disjonction.
La table de vérité d’une disjonction est donnée par le tableau suivant
| P | Q | P ∨ Q |
|---|---|---|
| vrai | vrai | vrai |
| vrai | faux | vrai |
| faux | vrai | vrai |
| faux | faux | faux |
Remarquons que, dans le langage courant, la conjonction de coordination « ou » est employée dans le sens « l'un ou l'autre, mais pas les deux », par exemple lorsque nous demandons « prendrez-vous du café ou du thé ? ». Dans ce cas « ou » indique une alternative, et a le même sens que « ou bien ». En logique cela s'appelle la disjonction exclusive ou le « ou exclusif ».
Formellement, le « ou » logique entre deux propositions est également vrai lorsque les deux propositions sont vraies ; ainsi le « ou » s'appelle aussi la disjonction inclusive. Ceci est mieux rendu dans le langage courant par l'expression « et / ou ».
Note : Boole, par analogie étroite avec les mathématiques ordinaires, imposa dans la définition de x + y, la condition d'exclusion mutuelle de x et y. William Jevons, et pratiquement tous les logiciens en mathématiques qui lui succédèrent, préconisèrent pour diverses raisons, l'emploi d'une définition de la somme logique ne rendant pas obligatoire l'exclusion mutuelle.
La disjonction que nous avons décrite est un opérateur binaire, ce qui signifie qu'elle combine deux propositions en une seule. Cependant, nous pouvons enchaîner des disjonctions, en considérant par exemple A ∨ B ∨ C, qui est par définition l'une ou l'autre des deux propositions logiquement équivalentes (A ∨ B) ∨ C ou A ∨ (B ∨ C). Cette proposition est vraie quand l'une des propositions A, B, ou C est vraie. L'enchaînement des conjonctions est rendu possible grâce à l'associativité du ∨. L'opérateur est également commutatif ; A ∨ B est équivalent à B ∨ A.
Donnons quelques propriétés de la conjonction :
Soient P, Q et R trois propositions.
- (P ∨ P) ⇔ P idempotence du « ou »
- (P ∨ Q) ⇔ (Q ∨ P) commutativité du « ou »
- ((P ∨ Q) ∨ R) ⇔ (P ∨ (Q ∨ R)) associativité du « ou »
- ¬ (P ∨ Q) ⇔ ((¬ P) ∧ (¬ Q)) la négation d'une disjonction est la conjonction des négations[1]
- ¬ (P ∧ Q) ⇔ ((¬ P) ∨ (¬ Q)) la négation d'une conjonction est la disjonction des négations[2]
- (P ∨ (Q ∧ R)) ⇔ ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)) distributivité de « ou » par rapport à « et »
- (P ∧ (Q ∨ R)) ⇔ ((P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)) distributivité de « et » par rapport à « ou »
La notion correspondante en théorie des ensembles est la réunion.
