Homologie et cohomologie

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Sommaire

1 Généralités
2 Catalogue
3 Bibliographie
- 3.1 Liens externes
- 3.2 Ouvrages de mathématiques

[modifier] Généralités

Un complexe de chaines est la donnée d'une suite de groupes abéliens $M i$ et d'une famille d'homomorphismes, appelées opérateurs de bord $\partial_i:M_i\rightarrow M_{i-1}$ , telle que : $\partial_i\partial_{i+1}=0$ . Les éléments de $M i$ s'appellent des chaines de degré $i$ . Les éléments du noyau $\ker \partial_i$ s'appellent des cycles. Les éléments de l'image $Im\ \partial_{i+1}$ s'appellent des bords. Tout bord est un cycle.

Les groupes d'homologie sont : $H_i(M_*,\partial_*)= \ker \partial_i / Im\ \partial_{i+1}$ .

À tout espace topologique, on peut associer son complexe de chaines singulières et donc son homologie singulière. Du point de vue de la théorie des catégories, l'homologie peut être vue comme un foncteur de la catégorie des espaces topologiques vers la catégorie des groupes abéliens gradués.

On peut remplacer les groupes abéliens par des modules sur un anneau commutatif.