Homologie singulière

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En mathématiques, l'homologie singulière est l'une des constructions qui permettent de calculer l'homologie d'un espace topologique, nommé X par la suite. Elle se calcule à partir d'un complexe de chaînes dont le termes d'indice n est le groupe abélien libre engendré par les applications continues du simplexe standard $Δ n$ de dimension n vers l'espace X. L'application de bord du complexe de chaine est celle qui à une application vers X de source le n-simplexe standard (orienté) associe la somme alternée de ses restrictions aux différents bords de $Δ n$ , tous identifiés au simplexe de dimension n-1.

En général le complexe construit est très gros et incalculable en pratique. Par exemple, le premier groupe, d'indice zéro, est le groupe des sommes formelles, à coefficients entiers relatifs, des points de l'espace étudié : c'est un groupe abélien libre de rang le cardinal de X. En contrepartie, l'homologie singulière offre une grande souplesse quant au choix des espaces considérés.

Toutefois les groupes d'homologie qui s'en déduisent ont les propriétés de finitude escomptées pour des espaces X raisonnables. On dispose en effet de théorèmes de comparaisons avec les autres constructions de ces groupes d'homologie.

[modifier] Le complexe

[modifier] Résultats

[modifier] Propriétés

[modifier] Généralisations

Mentionnons enfin que des méthodes inspirées de l'homologie singulière sont appliquées en géométrie algébrique, dans le cadre des théories homotopiques des schémas. Elles ont pour but de définir une cohomologie motivique, et ont des répercussions spectaculaires en arithmétique.