Foncteur

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En mathématiques, le foncteur est la généralisation aux catégories de la notion de morphismes.

Sommaire

[modifier] Définitions

Un foncteur F:\mathcal C\to\mathcal D d'une catégorie \mathcal C dans une catégorie \mathcal D est la donnée

  • d'une fonction qui, à tout objet A de \mathcal C, associe un objet F(A) de \mathcal D,
  • d'une fonction qui, à tout morphisme f : A\to B de \mathcal C, associe un morphisme F(f): F(A)\rightarrow F(B) de \mathcal D,

qui

  • respectent les identités: pour tout objet A de \mathcal C,
F(idA) = idF(A),
  • respectent la composition: pour tous objets A, B et C et morphismes f:A\to B et g:B\to C de \mathcal C,
F(g\circ f)=F(g)\circ F(f).

Un foncteur contravariant d'une catégorie \mathcal C dans une catégorie \mathcal D est un foncteur de \mathcal C^{\mathrm{op}} dans \mathcal D. Pour souligner le fait qu'il n'est pas contravariant un foncteur est parfois appelé foncteur covariant.

[modifier] Foncteurs adjoints

Soient C et D deux catégories, F un foncteur de C dans D et G de D dans C tels que pour tout objet X \in C et Y \in D on ait une bijection naturelle en X et Y Hom _ D \left( F \left (X \right), Y\right) \approx Hom _ C \left( X , G \left (Y \right) \right). Alors F et G sont des foncteurs adjoints, F est adjoint à gauche de G et G est adjoint à droite de F.

[modifier] Exemples

  • Le foncteur identité d'une catégorie \mathcal C, souvent noté I:\mathcal C\to\mathcal C, qui laisse les objets et les morphismes de la catégorie invariants.
  • Les foncteurs d'oubli qui envoient les objets d'une catégorie sur des objets d'une autre catégorie en « oubliant » certaines propriétés de ces objets :
  • le foncteur de Ab dans Grp qui à un groupe abélien associe le groupe lui-même, mais dans la catégorie qui contient aussi les groupes non abéliens (on a « oublié » le fait que le groupe est abélien) ;
  • le foncteur de Grp dans Set qui à un groupe associe l'ensemble sous-jacent (on a « oublié » la structure de groupe).
  • Le foncteur de faisceaux, d'une catégorie dans la catégorie de ses faisceaux, qui associe à chaque objet X le faisceau U \mapsto Hom (U, X) et son dual (contravariant) qui lui associe U \mapsto Hom (X, U). Dans ce cas Hom( * ,pt) est le faisceau terminal (ou constant ou point) et Hom (*, \emptyset) l'initial (ou vide). Le foncteur de faisceau est une représentation d'une catégorie dans son topos et permet d'identifier chaque objet au faisceau qu'il représente.

[modifier] Propriété

L'image d'un isomorphisme par un foncteur est un isomorphisme.

[modifier] Remarques

  • Le foncteur constant (tous les objets ont le même objet image et chaque flèche est envoyée sur l'identité) est l'objet terminal de la catégorie des foncteurs).
  • Les foncteurs sont parfois appelés morphismes pour la catégorie des catégories.