Cohomologie de De Rham

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En mathématiques, la cohomologie de De Rham est un outil de topologie différentielle, c'est-à-dire adapté à l'étude des variétés différentielles. Il s'agit d'une théorie cohomologique basée sur des propriétés algébriques des espaces de formes différentielles sur la variété, et, en un certain sens, d'une théorie duale de l'homologie singulière.

Sommaire

1 Théorie locale
2 Théorie globale
3 Voir aussi
4 Bibliographie
- 4.1 Ouvrages de mathématiques
- 4.2 Ouvrages pour physiciens théoriciens

[modifier] Théorie locale

Soit $M$ une variété différentielle, et $\Lambda^p \subset T^0_p M$ l'ensemble des formes différentielles $ω$ de degré $p$ sur $M$ . Il a une structure de fibré vectoriel sur $M$ .

Soit $d$ l'opérateur de différentiation extérieure sur les formes différentielles :

$\mathrm d \ : \quad \Lambda^p \quad \mapsto \quad \Lambda^{p+1}$

qui associe à la forme différentielle $ω$ de degré $p$ sa dérivée extérieure $dω$ , forme différentielle de degré $p + 1$ .

[modifier] Forme fermée

Lorsque $dω = 0$ , on dit que la forme différentielle $ω$ est fermée.

[modifier] Forme exacte

Lorsque $ω = dα$ , on dit que la forme différentielle $ω$ est exacte.

[modifier] Lemme de Poincaré

On sait que l'opérateur $d$ est nilpotent : $d 2 = 0$ . On en déduit que :

Théorème — Toute forme différentielle exacte est fermée.

Le lemme de Poincaré permet de montrer que la réciproque est vraie localement :

Lemme de Poincaré — Toute forme différentielle fermée est localement exacte.

Plus précisément, toute forme fermée sur un ouvert étoilé, ou sur un ouvert difféomorphe à un ouvert étoilé, est exacte. (Rappelons que $U\subset \R^n$ est un étoilé s'il existe un point $a$ tel que pour tout $x\in U$ , le segment $[a, x]$ soit inclus dans $U$ ). Une boule ou un convexe sont étoilés.

[modifier] Théorie globale

La réciproque de la propriété ci-dessus est fausse. Par exemple, sur le plan $\R^2$ privé de l'origine, la forme $\tfrac{x\mathrm dy-y\mathrm dx}{x^2+y^2}$ est fermée, mais non exacte.

[modifier] Notations

$Z p (M)$ l'espace des $p$ -formes fermées.
$B p (M)$ le sous-espace des $p$ -formes exactes.

[modifier] Définition : groupes de cohomologie (de De Rham)

On définit le $p$ -ème groupe de cohomologie de De Rham $H p (M)$ comme étant l'espace quotient de $Z p (M)$ par $B p (M)$ :

$H^p(M) \ = \ Z^p(M) \, / \, B^p(M)$

c'est-à-dire l'espace des $p$ -formes fermées modulo le sous-espace des $p$ -formes exactes.

En introduisant la notation suivante pour la dérivation extérieure :

$\mathrm d_{p+1} \ : \quad \Lambda^p \quad \mapsto \quad \Lambda^{p+1}$

qui précise le degré de la forme dérivée obtenue, on peut écrire également :

$H^p(M) \ = \ \mathrm{ker} \, (\mathrm d_{p+1}) \, / \, \mathrm{im}\, (\mathrm d_{p})$

où $ker$ désigne le noyau, et $im$ l'image des opérateurs respectifs.

[modifier] Exemples

$H^0(M)\simeq\R^c$ , où $c$ désigne le nombre de composantes connexes de $M$ .
Si $M$ est une variété lisse compacte connexe et orientable de dimension $n$ , alors $H n (M)$ est de dimension $1$ .
Si $M .,$ n'est pas orientable (les autres hypothèses restant les mêmes), $H n (M) = 0$
$H k (S n) = 0$ pour $0 < k < n$

[modifier] Voir aussi

[modifier] Bibliographie

[modifier] Ouvrages de mathématiques

William Fulton ; Algebraic Topology: A First Course, Graduate Texts in Mathematics 153, Springer-Verlag (1995), ISBN 0-387-94327-7.

Raoul Bott & Loring W. Tu ; Differential Forms in Algebraic Topology, Graduate Texts in Mathematics 82, Springer-Verlag (3^e tirage corrigé - 1995), ISBN 0-387-90613-4.

Glen E. Bredon ; Topology & Geometry, Graduate Texts in Mathematics 139, Springer-Verlag (1993), ISBN 0-387-97926-3.

Jacques Lafontaine ; Introduction aux variétés différentielles, Press Universitaires de Grenoble 1996

[modifier] Ouvrages pour physiciens théoriciens

Theodore Frenkel ; The Geometry of Physics - An introduction, Cambridge University Press (1997), ISBN 0-521-38753-1.

Mikio Nakahara ; Geometry, Topology ans Physics, Institute of Physics Publishing (1990), ISBN 0-85274-095-6.

Charles Nash & Siddharta Sen ; Topology & Geometry for Physicists, Academic Press (1983), ISBN 0-12-514080-0.

Yvonne Choquet-Bruhat & Cécile deWitt-Morette ; Analysis, Manifolds & Physics - Part I: Basics, North-Holland/Elsevier (2^e édition révisée - 1982), ISBN 0-444-86017-7.