Histoire de l'analyse
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L'histoire de l'analyse se déroule principalement dans les quelques derniers siècles. Cependant, dans l'Antiquité et au Moyen Âge respectivement, les mathématiciens grecs et indiens se sont intéressés à l'infinitésimal et ont obtenu des résultats prometteurs mais fragmentaires. Pour des raisons historiques, leurs successeurs immédiats ne purent bâtir sur ces acquis.
Sommaire |
[modifier] Mathématiques grecques : la méthode d'exhaustion
Article détaillé : méthode d'exhaustion.Les mathématiciens grecs Eudoxe de Cnide, puis Archimède introduisirent une technique de calcul des aires et des volumes qui leur fit effleurer le concept de limite : la méthode d'exhaustion. Lus par les modernes, les calculs d'exhaustion permettent d'arriver à la valeur exacte de l'aire de la figure par passage à la limite. Il s'agit pourtant d'une étape qui ne fut pas franchie par les Anciens.
[modifier] Mathématiques indiennes
Les mathématiciens indiens ont développé bien avant leurs homologues occidentaux des notions de calcul différentiel et intégral et de passage à la limite.
Au XIIe siècle, Bhāskara introduisit des éléments de calcul différentiel, avec des calculs de nombres dérivés, notamment pour dériver la fonction sinus, la propriété d'annulation de la dérivée en un extremum et même une première version du théorème de Rolle.
Au XIVe siècle, Madhava, fut le premier à effectuer de véritables passages à la limite, en introduisant des développements de Taylor pour les fonctions trigonométriques et en estimant l'erreur effectuée lors de la troncature. Il travailla aussi sur les fractions continues et le nombre pi. Il est le fondateur de l'école mathématique du Kerala, qui prospéra jusqu'au XVIe siècle. Depuis la découverte des travaux de cette école, plusieurs historiens n'hésitent pas à le qualifier de père de l'analyse moderne.
[modifier] Calcul infinitésimal
Article détaillé : Histoire du calcul infinitésimal.L'analyse moderne a été refondée en Occident, au XVIIe siècle, avec le calcul infinitésimal de Newton et Leibniz. Au XVIIe siècle, les thèmes de l'analyse tels que le calcul infinitésimal, les équations différentielles, les équations aux dérivées partielles, l'analyse de Fourrier et les fonctions engendrées étaient principalement développés dans les travaux appliqués. Les techniques de calcul infinitésimal étaient utilisées avec succès pour approcher des problèmes du discret par des problèmes du continu.
[modifier] Vers la « limite »
Tout au long du XVIIIe siècle, la définition de fonction était un sujet de débat parmi les mathématiciens. Au XIXe siècle, Cauchy fut le premier à donner une fondation logique stricte du calcul infinitésimal en introduisant le concept de suite de Cauchy. Il commença aussi la théorie formelle de l'analyse complexe. Poisson, Liouville, Fourier et d'autres étudièrent les équations aux dérivées partielles et l'analyse harmonique.
Au milieu du XIXe siècle, Riemann introduit sa théorie de l'intégration : l'intégrale de Riemann. Durant le troisième tiers du XIXe siècle, l'analyse se voit arithmétisée par Karl Weierstrass qui pensait que le raisonnement géométrique était en soi fallacieux, il introduit aussi la définition « ε-δ » des limites. Puis les mathématiciens commencèrent à s'inquiéter du fait qu'ils supposaient sans preuve l'existence d'un continuum de nombres réels. Richard Dedekind construit donc les nombres réels avec les coupures de Dedekind (voir Construction des nombres réels). En même temps, les essais pour affiner les théorèmes de l'intégrale de Riemann ont mené à l'étude de la « taille » des ensembles discontinus de fonctions réelles.
[modifier] Théorie des mesures
En outre, des « monstres » (des fonctions continues nulle part, des fonctions continues mais dérivables nulle part, des courbes de remplissage d'espace) commencèrent à être créés. Dans ce contexte, Marie Ennemond Camille Jordan développa sa théorie sur la mesure. Georg Cantor développa ce qu'on appelle aujourd'hui la théorie naïve des ensembles. Au début du XXe siècle le calcul infinitésimal se formalise par théorie axiomatique des ensembles. Henri Lebesgue résolut le problème de mesure et David Hilbert introduit les espaces de Hilbert pour résoudre les équations intégrales. L'idée d'espace vectoriel normé était très étudiée dans les années 1920 et Stefan Banach créa l'analyse fonctionnelle.
