Formule de Steiner-Minkowski

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En mathématiques, la Formule de Steiner-Minkowski est une formule liant l'aire et le volume d'un sous-ensemble compact d'un espace euclidien. Plus précisemment, elle définit l'aire comme la "dérivée" du volume délimité, en un certain sens à préciser.

La Formule de Steiner-Minkowski est utilisée conjointement avec le théorème de Brunn-Minkowski, pour prouver le Théorème isopérimétrique. Elle a été ainsi nommée en l'honneur du mathématicien lithuanien Hermann Minkowski.

Sommaire

1 Enoncé de la formule
2 Remarques
- 2.1 Mesure de la surface
- 2.2 Ensembles convexes
3 Exemple : volume et surface d'une boule
4 Références

[modifier] Enoncé de la formule

Soit $n \geq 2$ , et $A \subsetneq \mathbb{R}^{n}$ un ensemble compact. Soit $μ(A)$ la mesure de Lebesgue (volume) de $A$ . On définit la quantité $\lambda (\partial A)$ par la formule suivante (formule de Minkowski-Steiner):

$\lambda (\partial A) := \liminf_{\delta \to 0} \frac{\mu \left( A + \overline{B_{\delta}} \right) - \mu (A)}{\delta},$

avec

$\overline{B_{\delta}} := \left\{ x = (x_{1}, \dots, x_{n}) \in \mathbb{R}^{n} \left| | x | := \sqrt{x_{1}^{2} + \dots + x_{n}^{2}} \leq \delta \right. \right\}$

désignant la boule fermée de rayon $δ > 0$ , et

$A + \overline{B_{\delta}} := \left\{ a + b \in \mathbb{R}^{n} \left| a \in A, b \in \overline{B_{\delta}} \right. \right\}$

est la somme de Minkowski de $A$ et $\overline{B_{\delta}}$ , d'où

$A + \overline{B_{\delta}} = \left\{ x \in \mathbb{R}^{n} \left| | x - a | \leq \delta \mbox{ pour } a \in A \right. \right\}.$

[modifier] Remarques

[modifier] Mesure de la surface

Pour un ensemble "suffisamment régulier" $A$ , the quantity $\lambda (\partial A)$ ne correspond pas nécessairement à la mesure $(n - 1)$ -dimensionnelle du bord $\partial A$ de $A$ . Voir Federer (1969) pour un traitement complet de ce problème.

[modifier] Ensembles convexes

Quand l'ensemble $A$ est convexe, la limite inférieure ci-dessus est une vraie limite et on peut montrer

$\mu \left( A + \overline{B_{\delta}} \right) = \mu (A) + \lambda (\partial A) \delta + \sum_{i = 2}^{n - 1} \lambda_{i} (A) \delta^{i} + \omega_{n} \delta^{n},$

où $λ i$ est une fonction continue sur $A$ et $ω n$ désigne la mesure (ou volume) de la boulé unité de $\mathbb{R}^{n}$ :

$\omega_{n} = \frac{2 \pi^{n / 2}}{n \Gamma (n / 2)},$

avec $Γ$ désignant la fonction gamma.

[modifier] Exemple : volume et surface d'une boule

Prenons $A = \overline{B_{R}}$ qui donne la formule de l'aire de la sphère de rayon $R$ , $S_{R} := \partial B_{R}$ :

$\lambda (S_{R}) = \lim_{\delta \to 0} \frac{\mu \left( \overline{B_{R}} + \overline{B_{\delta}} \right) - \mu \left( \overline{B_{R}} \right)}{\delta}$

$= \lim_{\delta \to 0} \frac{[ (R + \delta)^{n} - R^{n} ] \omega_{n}}{\delta}$

= n R n - 1 ω n,

avec $ω n$ défini ci-dessus.

[modifier] Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu d’une traduction de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Minkowski-Steiner formula ».
Dacorogna, Bernard (2004). Introduction to the Calculus of Variations. London: Imperial College Press. ISBN 1-86094-508-2.
Federer, Herbert (1969). Geometric Measure Theory. New-York: Springer-Verlag.