Limites inférieure et supérieure

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Exemple de recherche de limites inférieure et supérieure. La suite x_n est représentée en bleu.

En analyse réelle, les limites inférieures et supérieures sont des outils d'étude des suites de nombres réels. Une telle suite n'est en général ni monotone, ni convergente. L'introduction des limites supérieure et inférieure permet de retrouver, partiellement, de telles propriétés. Il s'agit d'un cas particulier de valeurs d'adhérence de la suite.

[modifier] Définitions

Si $(u_n)_{n\ge 0}$ est une suite bornée de réels, les suites définies par

$v_n=\sup\{u_k, k\ge n\}\,$ et $w_n=\inf\{u_k, k\ge n\}\,$

sont respectivement décroissante et croissante. De plus, pour tout n,

$w_n\le u_n\le v_n\,$ .

Ce sont donc des suites convergentes, d'après le théorème de la limite monotone. On pose

$\limsup_{n\rightarrow +\infty} u_n=\lim_{n\rightarrow +\infty} v_n$ et $\liminf_{n\rightarrow +\infty} u_n=\lim_{n\rightarrow +\infty} w_n$ .

Ces nombres sont appelés limite supérieure et limite inférieure de la suite $(u_n)_{n\ge 0}$ .

Cette définition s'étend aux suites non nécessairement bornées, en posant

$\limsup_{n\rightarrow +\infty} u_n=\infty$ si la suite n'est pas majorée,

$\liminf_{n\rightarrow +\infty} u_n=-\infty$ si la suite n'est pas minorée.

[modifier] Exemples

Pour une suite convergente, la limite supérieure et la limite inférieure sont toutes deux égales à la limite de la suite.

$\limsup_{n\rightarrow +\infty}(-1)^n=1,\ \liminf_{n\rightarrow +\infty}(-1)^n=-1$
$\limsup_{n\rightarrow +\infty}\sin n=1,\ \liminf_{n\rightarrow +\infty}\sin n =-1$

[modifier] Propriétés

Posons pour alléger les notations $L=\limsup_{n\rightarrow +\infty} u_n, l=\liminf_{n\rightarrow +\infty} u_n$ Soit $\varepsilon>0\,$ fixé. Alors

il n'y a qu'un nombre fini de $k\,$ tels que $u_k> L +\varepsilon\,$ .

En effet, la convergence vers $L\,$ de la suite $(v_n)_{n\ge 0}$ montre que $L\le v_n\le L+\varepsilon \,$ pour $n\,$ assez grand. Fixons un tel $n\,$ . Pour $n\le k\,$ , $u_k\le v_n\le L+\varepsilon\,$ , donc si $u_k>L+\varepsilon\,$ , nécessairement $k<n\,$

il y a une infinité de $k\,$ tels que $u_k> L -\varepsilon\,$ .

En effet, pour tout $n\,$ , $L-\varepsilon <v_n\,$ . D'après la définition même de la borne supérieure (plus petit des majorants), il existe $k\ge n\,$ tel que $L-\varepsilon <u_k$ .

La limite inférieure satisfait a des propriétés analogues. Autrement dit, $L\,$ et $l\,$ sont respectivement la plus grande et la plus petite des valeurs d'adhérence de la suite $(u_n)_{n\ge 0}$ . Notons au passage que l'existence de $\limsup\,$ et $\liminf\,$ pour une suite bornée fournit une preuve du théorème de Bolzano-Weierstrass

[modifier] Applications

Le rayon de convergence de la série entière $\sum_{k=0}^{\infty}a_nz^n$ est égal à $1/\limsup_{n\rightarrow +\infty} \vert a_n\vert^{1/n}$ (formule de Hadamard).

[modifier] Généralisations

D'une manière analogue, si $f:X\mapsto \R \,$ est une fonction numérique définie sur un espace topologique, on peut définir $\limsup_{x\mapsto a}f(x)\,$ . Cela permet par exemple de définir les nombres dérivés d'une fonction $f:\R\rightarrow \R\,$ . Ce sont les nombres

$\limsup_{h\mapsto 0^+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}, \liminf_{h\mapsto 0^+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}, \limsup_{h\mapsto 0^+}\frac{f(a-h)-f(a)}{h}, \liminf_{h\mapsto 0^+}\frac{f(a-h)-f(a)}{h}$

(attention : comme ci-dessus, ces limites peuvent valoir $\pm \infty\,$ ).

On peut aussi définir $\limsup\,$ pour une suite $(A_n)_{n\ge 0}\,$ de parties d'un ensemble, en posant

$\limsup(A_n) =\cap_{n\ge 0}(\cup_{k\ge n} A_k)$

C'est l'ensemble des $x\in E\,$ qui appartiennent à $A_n\,$ pour une infinité d'indices $n\,$ . Cette notion joue un rôle important en calcul des probabilités. Voir par exemple le lemme de Borel-Cantelli