Fonction de Liouville

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La fonction de Liouville, notée λ(n) et nommée ainsi en l'honneur du mathématicien français Joseph Liouville, est une fonction importante de la théorie des nombres.

Si n est un entier positif, alors λ(n) est définie par :

\lambda(n) = (-1)^{\Omega(n)}\,\! ,

où Ω(n) est le nombre de diviseurs premiers de n, comptés avec leur ordre de multiplicité. (SIDN A008836).

λ est complètement multiplicative car Ω(n) est additive. Nous avons Ω(1)=0 et par conséquent λ(1)=1. La fonction de Liouville satisfait l'identité :

\Sigma_{(d|n)}\lambda(d)=1\,\! si n est un carré parfait, et :
\Sigma_{(d|n)}\lambda(d)=0\,\! sinon.

[modifier] Séries

La série de Dirichlet pour la fonction de Liouville est reliée à la fonction Zeta de Riemann par la formule

\frac{\zeta(2s)}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\lambda(n)}{n^s}

La série de Lambert pour la fonction de Liouville est

\sum_{n=1}^\infty \frac{\lambda(n)q^n}{1-q^n} = \sum_{n=1}^\infty q^{n^2} = \frac{1}{2}\left(\vartheta_3(q)-1\right)

où \vartheta_3(q) est une fonction theta de Jacobi.

[modifier] Conjectures

Pólya a conjecturé que L(n) = \sum_{k=1}^n \lambda(k) \leq 0 pour n>1. Ceci fut réfuté par Minoru Tanaka, n=906 150 257 étant le plus petit contre-exemple. On ignore si L(n) change de signe infiniment souvent.

Si on définit M(n) = \sum_{k=1}^n \frac{\lambda(k)}{k}, alors il semblait possible que M(n) > 0 pour n suffisamment grand, ce qui a été réfuté en 1958 par Haselgrove. Paul Turán avait montré que cette propriété implique l'hypothèse de Riemann

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