Carré parfait

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En mathématiques, un entier n est un carré parfait (un carré s'il n'y a pas ambiguïté) s'il existe un entier k tel que n = k2 ; en d'autres termes, un carré parfait est le carré d'un entier. Par exemple, les entiers 0, 1, 4 ou encore 49 sont des carrés parfaits.

Dans notre système de numération habituel, le chiffre des unités d'un carré parfait ne peut être que 0, 1, 4, 5, 6 ou 9. En base douze, il serait obligatoirement 0, 1, 4 ou 9.

Les mathématiciens se sont souvent intéressés à certaines curiosités concernant les carrés parfaits. La plus connue, notamment pour sa référence au théorème de Pythagore, est l'égalité 32 + 42 = 52, qui débute l'étude des triplets pythagoriciens.

On notera que depuis 1995, on est sûr grâce au théorème de Fermat-Wiles, qu'il n'y a que les carrés qui peuvent faire une identité comme celle des triplets pythagoriciens. En effet, il n'y a aucune solution à a3 + b3 = c3 avec a,b et c entiers.

La somme des premiers carrés parfaits est donnée par la formule remarquable suivante :

\sum_{0 \le p \le n}p^2=0^2+1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2 = {n (n+1) (2n+1)\over 6}


Liste des 10 premiers carrés parfaits
Puissances Résultats
0² 0
1² 1
2² 4
3² 9
4² 16
5² 25
6² 36
7² 49
8² 64
9² 81

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