Série de Lambert

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Pour les articles homonymes, voir Lambert.

En mathématiques, une série de Lambert, nommée ainsi en l'honneur du mathématicien français Johann Heinrich Lambert, est une série prenant la forme

$S(q)=\sum_{n=1}^\infty a_n \frac {q^n}{1-q^n}\,$

Elle peut être reprise formellement en développant le dénominateur :

$S(q)=\sum_{n=1}^\infty a_n \sum_{k=1}^\infty q^{nk} = \sum_{m=1}^\infty b_m q^m$

où les coefficients de la nouvelle série sont donnés par la convolution de Dirichlet de ${a_n}\,$ avec la fonction constante $1(n)=1\,$ :

$b_m = (a*1)(m) = \sum_{n|m} a_n\,$

Puisque cette dernière somme est une somme typique de la théorie des nombres, presque toute fonction multiplicative sera exactement sommable en utilisant une série de Lambert. Ainsi, par exemple, on a

$\sum_{n=1}^{\infty} q^n \sigma_0(n) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{q^n}{1-q^n}$

où $\sigma_0(n)=d(n)\,$ est le nombre de diviseurs positifs du nombre $n\,$ .

Pour les fonctions sigma d'ordre plus élevé, on a

$\sum_{n=1}^{\infty} q^n \sigma_\alpha(n) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^\alpha q^n}{1-q^n}$

où $\alpha\,$ est un nombre complexe et

$\sigma_\alpha(n) = (\textrm{Id}_\alpha*1)(n) = \sum_{d|n} d^\alpha\,$

est la fonction diviseur.

Les séries de Lambert dans lesquelles les $a_n\,$ sont des fonctions trigonométriques, par exemple, $a_n=\sin(2n x)\,$ , peuvent être évaluées en utilisant diverses combinaisons des dérivées logarithmiques des fonctions théta de Jacobi.