Dérivée extérieure

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En mathématiques, la dérivée extérieure, opérateur de la topologie différentielle, étend le concept de la différentielle d'une fonction aux formes différentielles de plus haut degré.

Elle permet de définir les formes différentielles fermées et exactes. Elle est importante dans la théorie d'intégration des variétés, et elle est la différentielle employée pour définir la cohomologie de De Rham et de Alexander-Spanier. Sa forme actuelle fut inventée par Élie Cartan.

Sommaire

[modifier] Définition

Pour toute variété différentielle M, A(M) désigne (ici) l'espace gradué des formes différentielles sur M. Il existe un unique opérateur linéaire \mathrm d:A(M)\to A(M) vérifiant :

  1. d est un opérateur linéaire gradué de degré 1 et induit en particulier des applications linéaires \mathrm d:A_k(M)\rightarrow A_{k+1}(M) ;
  2. Pour toutes formes différentielles α et β de degrés respectifs k et q, on a : \mathrm d\left[\alpha\wedge \beta\right]=\mathrm d\alpha\wedge \beta+(-1)^k \alpha \wedge \mathrm d\beta ;
  3. Le carré de d est nul : d2 = 0 ;
  4. Pour toute fonction f\in A_0(M), df est la différentielle de f.

[modifier] Expression en coordonnées locales

La dérivée extérieure d'une forme différentielle de degré k est une forme différentielle de degré k + 1.

Pour ω = fI dxI de forme k sur Rn, la définition est la suivante:

d{\omega} = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f_I}{\partial x_i} dx_i \wedge dx_I.

Pour les formes k générales: ΣI fI dxI (où le multi-indice I dépasse tous les sous-ensembles ordonnés de {1, ..., n} de cardinalité k), nous ne faisons qu'étendre linéairement. Notez que si i = I ci-dessus alors dx_i \wedge dx_I = 0 (voir produit extérieur).

[modifier] Propriétés

La différentiation extérieure satisfait trois propriétés importantes:

  • et d2 = 0, une formule codifiant l'égalité des dérivées partielles mixtes, tel que
d(d\omega)=0 \, \!

en tout temps.

Il peut être montré que cette dérivée extérieure est uniquement déterminée par ces propriétés et son accord avec la différentielle sur les formes 0 (fonctions).

Le noyau de d contient les formes closes, et l'image des formes exactes (cf. différentielle exacte).

[modifier] Formule invariante

Étant donné ω de forme k et des champs vectoriels arbitraires lisses V0,V1, …, Vk nous avons

d\omega(V_0,V_1,...V_k)=\sum_i(-1)^i V_i\omega(V_0,...,\hat V_i,...,V_k)
+\sum_{i<j}(-1)^{i+j}\omega([V_i,V_j],V_0,...,\hat V_i,...,\hat V_j,...,V_k)

où [V_i,V_j]\,\! dénote le crochet de Lie et \omega(V_0,...,\hat V_i,...,V_k)=\omega(V_0,..., V_{i-1},V_{i+1}...,V_k).

En particulier, pour les formes 1 nous avons:

dω(X,Y) = X(ω(Y)) − Y(ω(X)) − ω([X,Y]).

[modifier] Lien avec le calcul vectoriel

La correspondance suivante révèle environ une douzaine de formules du calcul vectoriel en tant que seulement des cas spéciaux des trois règles de différentiation extérieure ci-dessus.

[modifier] Gradient

Pour une forme 0, qui est une fonction lisse f: Rn→R, nous avons

df = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}\, dx_i.

Alors

df(V) = \langle \mbox{grad }f,V\rangle,

où grad f dénote le gradient de f et \langle\cdot,\cdot\rangle est le produit scalaire.

[modifier] Rotationnel

Pour \omega=\sum_{i} f_i\,dx_i de forme 1 sur R3,

d \omega=\sum_{i,j}\frac{\partial f_i}{\partial x_j} dx_j\wedge dx_i,

qui restreinte aux trois dimensions \omega= u\,dx+v\,dy+w\,dz est

d \omega = \left(\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} \right) dx \wedge dy + \left(\frac{\partial w}{\partial y} - \frac{\partial v}{\partial z} \right) dy \wedge dz + \left(\frac{\partial u}{\partial z} - \frac{\partial w}{\partial x} \right) dz \wedge dx.

Alors, pour le champ vectoriel V=[u,v,w] nous avons d \omega(U,W)=\langle\mbox{rot}\, V \times U,W\rangle où rot V dénote le rotationnel de V, × est le produit vectoriel, et <•, •> est le produit scalaire.

[modifier] Divergence

Pour \omega = \sum_{i,j} h_{i,j}\,dx_i\wedge\,dx_j, de forme 2

d \omega = \sum_{i,j,k} \frac{\partial h_{i,j}}{\partial x_k} dx_k \wedge dx_i \wedge dx_j.

Pour trois dimensions, avec \omega = p\,dy\wedge dz+q\,dz\wedge dx+r\,dx\wedge dy on obtient

d \omega = \left( \frac{\partial p}{\partial x} + \frac{\partial q}{\partial y} + \frac{\partial r}{\partial z} \right) dx \wedge dy \wedge dz = \mbox{div}V dx \wedge dy \wedge dz,

où V est un champ vectoriel defini par V = [p,q,r].

[modifier] Exemples

Pour \sigma = u\, dx + v\, dy de forme 1 sur R2 nous avons

d \sigma = \left(\frac{\partial{v}}{\partial{x}} - \frac{\partial{u}}{\partial{y}}\right) dx \wedge dy

ce qui est exactement la forme 2 en train de se faire intégrer dans le théorème de Green.

[modifier] Voir aussi

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