Calcul des variations
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En analyse fonctionnelle, le calcul des variations (ou calcul variationnel) est un ensemble de méthodes permettant de déterminer les points critiques ou les extrémales de fonctionnelles.
L'application des théories de Galois, d'Abel et de la transformée de Laplace permit d'en faire toute une branche fructueuse des mathématiques. Elle trouve de nombreuses applications en physique mathématique, comme les principes variationnels ou la recherche de surfaces minimales, de courbes brachistochrones et de géodésiques.
Sommaire |
[modifier] Variations première et seconde
[modifier] Équation de Jacobi
[modifier] Points conjugués et condition de Legendre
[modifier] Condition de Weierstrass
Revenons-en à l'expression de l'intégrale
et considérons un champ F d'extrémales se composant d'une famille de ces courbes à un paramètre α. Chacune d'elles satisfait naturellement à l'équation d'Euler-Lagrange :
En adoptant la représentation paramétrique : x0, x1 et α, fonctions de t, x0 et x1 décrivent des courbes C et D lorsque t varie, et la variation de W d'une extrémale à l'autre est[1]
où y' est le coefficient angulaire de la tangente à l'extrémale et Y' celui de la tangente à la courbe C ou D.
[modifier] Notes
- ↑ En tenant compte de la formule
établie plus haut.
[modifier] Voir aussi
[modifier] Bibliographie
- H. Goldstein (1980). Classical Mechanics (Second Edition), Addison-Wesley Publishing Company, Reading, Massachusetts. ISBN 0-201--02969-3.
[modifier] Liens internes
- Principe variationnel
- Principe variationnel en physique quantique
- Équation d'Euler-Lagrange
- Courbe brachistochrone
- Lemme fondamental du calcul des variations
Fonctionnelle • Calcul des variations • Dérivée fonctionnelle • Espace de Banach • Algèbre de Banach • Espace de Hilbert • Espace de Fréchet • Variété banachique • Espace de fonctions • Noyau reproduisant • Série de Fourier • Transformée de Fourier • Distribution • Topologie faible