Lemme fondamental du calcul des variations

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Le lemme fondamental du calcul des variations est un lemme essentiel au calcul des variations. En effet, il énonce que si f est une fonction continue sur l'intervalle [a,b], et

\int_a^b f(x) \, h(x) \,\mathrm dx = 0

pour toute fonction h\in C^\infty [a,b] avec h(a) = h(b) = 0, alors f(x) est identiquement nulle sur l'intervalle ouvert (a,b).

Plus généralement, ce résultat de ce lemme reste vrai avec f localement intégrable sur un ensemble ouvert U de \R^n et les fonctions h sont de classe C^\infty et à support compact dans U (La conclusion est changée par « f est nulle presque partout »).

[modifier] Applications

Ce lemme est utilisé pour prouver que les extremas de la fonctionnelle

J(y) = \int_{x_0}^{x_1} L(t,y,\dot y) \,\mathrm dt

sont des solutions faibles de l'équation d'Euler-Lagrange:

{\partial L(t,y,\dot y) \over \partial y} = {\mathrm d\over\mathrm dt} {\partial L(t,y,\dot y) \over \partial \dot y} .

[modifier] Références

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