Point critique (mathématiques)

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En analyse à plusieurs variables, un point critique d'une fonction de plusieurs variables, à valeurs numériques, est un point d'annulation de son gradient. Les points critiques servent d'intermédiaire pour la recherche des extrema d'une telle fonction.

Plus généralement, on peut définir la notion de point critique d'une application différentiable entre deux variétés différentielles ; il s'agit des points où la différentielle n'est pas de rang maximal.

[modifier] Points critiques et extrema d'une fonction numérique

Un point selle (ou point col) est un point critique.

Articles détaillés : matrice hessienne et gradient.

Soit $f$ une fonction de $n$ variables $x 1,..., x n$ , à valeurs réelles, différentiable sur un ouvert $U$ . On dit qu'elle admet un point critique en un point $u$ de $U$ quand son gradient est nul en ce point.

Notamment, si $u$ est un extremum local de $f$ c'est un point critique. La réciproque est fausse : une fois qu'on a déterminé les points critiques d'une fonction, il faut examiner leur nature, par exemple en effectuant le calcul de la matrice hessienne de $f$ .

Exemple :

Soit la fonction représentée à droite,

$f:\begin{array}{rcl} \R^2 & \to & \R \\ (x,y) & \mapsto & z=x^2-y^2\end{array}$

L'expression de son gradient est :

$\overrightarrow\operatorname{grad}f = \nabla f = \begin{bmatrix}\frac{\part f}{\part x} \\ \frac{\part f}{\part y}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2x\\-2y\end{bmatrix}$

Il s'annule donc en $(0,0)$ , c'est le seul point critique. Pour déterminer sa nature, calculons la matrice hessienne de la fonction :

$H(f)=\begin{bmatrix}\frac{\part^2 f}{\part x^2} & \frac{\part^2 f}{\part x\part y} \\ \frac{\part^2 f}{\part x\part y} & \frac{\part^2 f}{\part y^2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2&0\\0&-2\end{bmatrix}$

Elle a pour valeurs propres 2 et -2. Elle n'est donc définie ni positive, ni négative : il s'agit d'un point selle – ou point col.

[modifier] Points et valeurs critiques pour une application entre variétés

Soit $f$ une application différentiable entre deux variétés $M$ et $N$ . On dit que $f$ présente un point critique au point $m$ si l'application linéaire tangente à $f$ en $m$ est non surjective (c'est-à-dire $f$ n'est pas une submersion).

On appelle valeurs critiques les images des points critiques par $f$ . Le théorème de Sard assure que pour une fonction indéfiniment différentiable, l'ensemble des valeurs critiques est de mesure nulle.