Topologie faible

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Sommaire

1 Définition
2 Propriétés élémentaires
3 Continuité des opérateurs et topologie faible
4 Topologie faible-*
5 Théorème de Banach-Alaoglu-Bourbaki
6 Convergence faible et espaces de Hilbert
7 Liens externes

[modifier] Définition

Soient $E$ un espace de Banach (réel ou complexe) et $E *$ son dual topologique, c’est-à-dire l'ensemble des formes linéaires continues sur $E$ . On dit qu'une suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ d'éléments de $E$ converge faiblement vers un élément $u$ de $E$ lorsque :

$\forall \varphi \in E^*,\quad \lim_{n\rightarrow+\infty}\langle\varphi,u_n\rangle=\langle\varphi,u\rangle$

Cette notion de limite définit une topologie sur $E$ , appelée topologie faible, parce qu'elle est plus faible que la topologie usuelle, que l'on appelle dans ce contexte topologie forte. (On dit que la topologie A est plus faible que la topologie B lorsque la convergence pour B implique la convergence pour A).

[modifier] Propriétés élémentaires

La convergence forte dans $E$ implique la convergence faible. En effet $|\langle\varphi,u_n\rangle-\langle\varphi,u\rangle|\leq \|\varphi\|_{E^*}\|u_n-u\|_{E}$

La norme de la limite faible d'une suite $(u n) n$ dans $E$ est inférieure à la limite inférieure des normes de $u n$ . Ce résultat plus subtil utilise le théorème de Hahn-Banach.

[modifier] Continuité des opérateurs et topologie faible

Théorème — Soit $E$ et $F$ des espaces de Banach et $T$ un opérateur linéaire fortement continu de $E$ dans $F$ . Alors $T$ est faiblement continu.

[modifier] Topologie faible-*

Un espace de Banach $E$ s'identifie à un sous-espace vectoriel fermé de son bi-dual (le dual de son dual) $E * *$ . On définit grâce à cette remarque une topologie sur $E *$ , a priori encore plus faible que la topologie faible et appelée topologie faible-*:

Définition — On dit qu'une suite $(\varphi_n)_{n\in \mathbb{N}}$ d'éléments de $E *$ converge pour la topologie faible-* vers un élément $\varphi$ de $E *$ lorsque:

$\forall u \in E,\quad \lim_{n\rightarrow+\infty}\langle\varphi_n,u\rangle=\langle\varphi,u\rangle$

Les deux topologies, faible et faible-* sont en général distinctes. Dans le cas d'un espace de Banach réflexif (identifiable à son bi-dual), elles sont bien sûr égales.

[modifier] Théorème de Banach-Alaoglu-Bourbaki

Le théorème suivant, qui permet parfois de pallier l'absence de compacité pour la topologie forte dans les espaces de Banach de dimension infinie est la principale justification de la définition de la topologie faible-* :

Théorème — Soit $E$ un espace de Banach séparable. Alors la boule unité fermée de $E *$ est séquentiellement compacte pour la topologie faible-*. En d'autres termes, toute suite $(u n) n$ bornée de $E *$ admet une sous-suite simplement convergente.

À extraction près, une suite bornée d'un espace de Banach reflexif converge toujours faiblement (mais pas forcément fortement). Il existe de nombreuses méthodes récentes, développées notamment pour leurs applications dans le cadre de la théorie des équations aux dérivées partielles pour étudier le défaut de compacité d'une telle suite, en particulier dans les espaces de Hilbert (principe de concentration compacité de Pierre-Louis Lions, de mesure de défaut micro-locale de Patrick Gérard et Luc Tartar).

[modifier] Convergence faible et espaces de Hilbert

Par le théorème de représentation de Riesz la définition de la convergence faible d'une suite $(u n) n$ sur un espace de Hilbert $H$ s'écrit:

$\forall v\in H,\quad \lim_{n\rightarrow\infty} \langle u_n,v\rangle=\langle u,v\rangle$

Ici $\langle u,v\rangle$ désigne le produit scalaire sur $H$ .

L'espace $H$ est réflexif donc d'après le théorème de Banach-Alaoglu, la topologie faible sur $H$ est séquentiellement compacte.

Dans un espace de Hilbert toute suite bornée admet une sous-suite faiblement convergente.

Mentionnons cette caractérisation élémentaire mais intéressante de la convergence forte dans un espace de Hilbert.

Proposition — Soit $(u n) n$ une suite d'éléments de H convergeant faiblement vers un élément u de H. Alors cette convergence est forte si et seulement si :

$\text{(1)} \qquad \lim_{n\rightarrow +\infty} \|u_n\|_H=\|u\|$