Équation fonctionnelle (fonction L)

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En mathématiques, les fonctions L de la théorie des nombres ont certaines équations fonctionnelles, comme une de leur propriétés caractéristiques. Il existe une théorie élaborée de ce qu'elles devraient être; beaucoup d'entre elles sont encore conjecturelles. Par exemple, la fonction zêta de Riemann possède une équation fonctionnelle reliant sa valeur au nombre complexe s avec sa valeur à $1 - s\,$ . Dans chaque cas, ceci relie à une certaine valeur $\zeta(s)\,$ qui est seulement définie par prolongement analytique à partir de la définition en série infinie. C’est-à-dire, en écrivant avec le signe conventionnel $\sigma\,$ pour la partie réelle de s, l'équation fonctionnelle relie les cas

$\sigma > 1\,$ et $\sigma < 0\,$ ,

et change aussi un cas avec

$0 < \sigma < 1\,$

dans la bande critique en un autre cas de la sorte, se reflétant dans la droite $\sigma = \frac{1}{2}\,$ . Par conséquent, l'usage de l'équation fonctionnelle est basique, pour étudier la fonction zêta dans le plan complexe entier.

L'équation fonctionnelle en question pour la fonction zêta de Riemann prend la forme simple suivante

$Z(s) = Z(1 - s)\,$

où Z(s) est multiplié par un facteur gamma, impliquant la fonction gamma. Ceci est maintenant lu comme un facteur 'supplémentaire' dans le produit eulérien pour la fonction zêta, correspondant au nombre premier infini (?). La même forme d'équation fonctionnelle est valable pour la fonction zêta de Dedekind d'un corps de nombres K, avec un facteur gamma approprié qui dépend seulement des mélanges de K (en termes algébriques, des produits tensoriels de K avec le corps réel).

Il existe une équation similaire pour les fonctions L de Dirichlet, mais cette fois, en les reliant par paires :

$\Lambda(s,\chi)=\varepsilon\Lambda(1-s,\chi^*)\,$

avec $\chi\,$ un caractère de Dirichlet (primitif), $\chi^*\,$ son conjugué complexe, $\Lambda\,$ la fonction L multipliée par un facteur gamma, et $\epsilon\,$ un nombre complexe de valeur absolue 1, de forme

$G(\chi) \over {\left |G(\chi)\right \vert}$

où $G(\chi)\,$ est une somme de Gauss formée à partir de $\chi\,$ . Cette équation possède la même fonction des deux cotés si et seulement si $\chi\,$ est un caractère réel, prenant des valeurs dans ${0,1, -1}\,$ . Alors, $\epsilon\,$ doit être 1 ou −1, et le cas de la valeur $- 1\,$ impliquerait un zéro de $\Lambda(s)\,$ à $s = \frac{1}{2}\,$ . Selon la théorie (de Gauss, en effet) des sommes de Gauss, la valeur est toujours 1, donc aucun zéro simple de cette sorte ne peut exister (la fonction est paire à ce point).

Une théorie unifiée de ces équations fonctionnelles a été donnée par Erich Hecke, et la théorie fut utilisée de nouveau dans la thèse de Tate par John Tate. Hecke trouva les caractères généralisés des corps de nombres, maintenant appelés les caractères de Hecke, pour lesquels sa démonstration (basée sur les fonctions thêta) fonctionnait aussi. Ces caractères et leurs fonctions L associées sont maintenant comprises comme étant strictement reliées à la multiplication complexe, comme les caractères de Dirichlet le sont aux corps cyclotomiques.

Il existe aussi des équations fonctionnelles pour les fonctions zêta locales, apparaisant à un niveau fondamental pour la (l'analogue de la) dualité de Poincaré dans la cohomologie étale. Les produits eulériens de la fonction zêta de Hasse-Weil pour une variété algébrique V sur un corps de nombres K, formé en réduisant modulo des idéaux premiers pour obtenir des fonctions zêta locales, sont conjecturées pour avoir une équation fonctionnelle globale; mais ceci est actuellement considéré comme hors d'atteinte excepté dans des cas particuliers. La définition peut être lue directement hors de la théorie de la cohomologie étale, de nouveau; mais en général, quelques suppositions venant de la théorie de la représentation automorphe semble requérir l'équation fonctionnelle. La conjecture de Taniyama-Shimura était un cas particulier de ceci en tant que théorie générale. En reliant l'aspect du facteur gamma à la théorie de Hodge, et les études détaillées du facteur $\epsilon\,$ prévu, la théorie, au départ empirique, a acqui un statut raffiné, même si des démonstrations sont manquantes.