Somme de Gauss

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En mathématiques, et plus précisément en arithmétique modulaire, la somme de Gauss est un nombre complexe.

La Somme de Gauss utilise les outils de l'analyse harmonique sur un groupe abélien fini sur le corps fini Z/pZ où p désigne un nombre premier impair et Z l'ensemble des entiers relatifs.

Elles sont introduites par le mathématicien Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) qui les utilise dans ses Disquisitiones arithmeticae, parues en 1801.

Elles sont utilisées pour établir la théorie des polynômes cylotomiques et possèdent de nombreuses applications. On peut citer par exemple une démonstration de la loi de réciprocité quadratique.

Sommaire

1 Définition
2 Propriétés
3 Applications
- 3.1 Somme quadratique de Gauss
- 3.2 Loi de réciprocité quadratique
4 Notes et références
- 4.1 Liens externes
- 4.2 Références

[modifier] Définition

Dans cet article, p désigne un nombre premier impair, F_p le corps fini isomorphe à Z/pZ, F_p^* son groupe multiplicatif (c'est-à-dire le même ensemble sauf 0, avec la structure de groupe donnée par la multiplication) et ω désigne une racine primitive p-ième de l'unité, le caractère ψ_m désigne celui qui, à 1_F associe ω^m.

Soit ψ un caractère du groupe additif (F_p, +) et χ un caractère du groupe multiplicatif (F_p^*, .), alors la somme de Gauss associée à χ et ψ est le nombre complexe, ici noté G(χ, ψ) et défini par :

$G(\chi ,\psi)=\sum_{\bar x \in F_p^*} \chi(x).\psi(x) \quad \text{et}\quad G(\chi ,\psi_n)= \sum_{k=1}^{p-1} \chi (k) \omega^{nk}$

Pour une raison de simplicité, χ et ψ sont aussi considérés comme des fonctions définies sur Z l'anneau des entiers, avec la convention suivante :

$\forall \bar x \in \mathbb F_p^*,\;\forall x\in \bar x \quad \chi(x) = \chi (\bar x)\;\text{et}\;\psi(x)=\psi(\bar x)\quad ; \quad \forall n \in \mathbb Z \quad \chi(np)=0\;\text{et}\;\psi(np)=\psi(\bar 0)=1$

En terme de transformée de Fourier, on peut considérer l'application qui à χ associe $\scriptstyle {G(\chi, \bar \psi)}$ comme la transformée de Fourier du prolongement de χ à F_p par l'égalité χ(0) = 0 dans le groupe additif du corps et l'application qui à ψ associe $\scriptstyle {G(\bar \chi, \psi)}$ comme la transformée de Fourier de la restriction de ψ à F_p^* dans le groupe multiplicatif du corps.

[modifier] Propriétés

L'analyse harmonique permet de nombreux calculs sur les sommes de Gauss, ce paragraphe propose quelques exemples.

Si m est un entier premier avec p, alors l'égalité suivante est vérifiée :

$\forall n \in \mathbb Z \quad G(\chi, \psi_{nm})=\overline{\chi(m)} G(\chi,\psi_n) \;$

Ici Z désigne l'ensemble des entiers naturels et si z est un nombre complexe $\scriptstyle \bar z$ désigne son conjugué.

Si χ et ψ sont deux caractères différents du caractère constant égal à un, alors l'égalité suivante est vérifiée :

$G(\chi, \psi).G(\bar \chi, \psi)=\chi(- 1)p \;$

Cette propriété possède le corollaire suivant :

Si μ désigne le caractère multiplicatif égal à 1 sur les carrés de F_p^* et -1 sinon, alors l'égalité suivante est vérifiée :

$G(\mu, \psi_1)^2=\Big ( \frac {-1}{p} \Big ) p\;$

Dans cet article, (-1/p) désigne le symbole de Legendre.

Démonstrations

Si m est un entier premier avec p, alors l'égalité suivante est vérifiée :

$\forall n \in \mathbb Z \quad G(\chi, \psi_{nm})=\overline{\chi(m)} G(\chi,\psi_n) \;$

En effet, la définition d'une somme de Gauss implique les égalités suivantes :

$G(\chi, \psi_{nm})= \sum_{k=1}^{p-1} \chi (k) \omega^{nmk} = \sum_{k=1}^{p-1} \chi(m)^{-1}\chi (mk) \omega^{nmk}\;$

Utilisons le changement de variable suivant u = mk, on obtient :

$G(\chi, \psi_{nm})= \sum_{u=1}^{p-1} \chi(m)^{-1}.\chi (u) \omega^{nu}=\chi (m^{-1})\sum_{u=1}^{p-1} \chi (u) \omega^{nu}=\overline{\chi(m)} G(\chi,\psi_n) \;$

Ce qui termine la démonstration.

Si χ et ψ sont deux caractères différents du caractère constant égal à un, alors l'égalité suivante est vérifiée :

$G(\chi, \psi).G(\bar \chi, \psi)=\chi(- 1)p \;$

En effet, la définition d'une somme de Gauss implique les égalités suivantes :

$G(\chi, \psi).G(\bar \chi, \psi)=\sum_{k=1}^{p-1} \chi (k) \psi(k).\sum_{l=1}^{p-1} \overline{\chi (l)} \psi(l) = \sum_{k,l \in [1, p-1]} \chi(k\lambda_l) \psi(k)\psi(l) \;$

Ici, λ_l désigne l'entier compris entre un et p - 1 tel que l.λ_l est congru à un modulo p. Utilisons le changement de variable suivant u = k.λ_l, on obtient :

$G(\chi, \psi).G(\bar\chi, \psi)=\sum_{u=1}^{p-1} \chi (u)\sum_{l=1}^{p-1}\psi(ul) \psi (l)$

On remarque que l'application qui à la classe de l associe la valeur du caractère ψ pour la classe de ul est un caractère du groupe additif F_p. Si u est différent de l'unité, ce caractère est différent de ψ et donc lui est orthogonal car deux caractères distincts d'un groupe fini sont orthogonaux (cf caractère d'un groupe fini). On en déduit :

$\text{Si} \quad u \ne p-1 \quad \sum_{l = 1}^p \psi(ul) \psi (l) = 0 \quad \text{sinon} \quad \sum_{l = 1}^p \psi(-l) \psi (l) =p \;$

On en déduit, en limitant la somme à p - 1, les égalités suivantes :

$\text{Si} \quad u \ne p-1 \quad \sum_{l = 1}^{p-1} \psi(ul) \psi (l) = -1 \quad \text{sinon} \quad \sum_{l = 1}^{p-1} \psi(-l) \psi (l) =p-1 \;$

Ce qui démontre l'égalité suivante :

$G(\chi, \psi).G(\bar \chi, \psi)=\sum_{u = 1}^{p-2} -\chi (u) + (p-1)\chi(-1)$

De même, le caractère multiplicatif χ est orthogonal au caractère constant égal à 1, en conséquence :

$\sum_{u = 1}^{p-1} \chi (u)= 0 \quad \text{et} \quad \sum_{u = 1}^{p-2} -\chi (u)=\chi (-1)$

Ce qui démontre l'égalité suivante et termine la démonstration :

$G(\chi, \psi).G(\bar \chi, \psi)=\chi(-1)p \;$

Si μ désigne le caractère multiplicatif égal à 1 sur les carrés de F_p^* et -1 sinon, alors l'égalité suivante est vérifiée :

$G(\mu, \psi_1)^2=\Big ( \frac {-1}{p} \Big ) p \;$

Comme μ est égal à son conjugué, la proposition précédente, montre que :

$G(\mu, \psi_1)^2=G(\mu, \psi_1).G(\bar \mu, \psi_1)= \mu(-1) p =\Big ( \frac {-1}{p} \Big ) p \;$

[modifier] Applications

[modifier] Somme quadratique de Gauss

L'exemple historique, publié par Gauss en 1801 est le suivant :

Si τ_p est la somme définie à la ligne suivante, alors τ_p² est égal à (-1/p).p.

$\tau_p=\sum_{k=1}^p exp(\frac {2 \pi i k^2}p)\quad alors \quad \tau_p^2 =\Big ( \frac {-1}{p} \Big ) p\;$

Démonstration

Soit H le sous-groupe du groupe multiplicatif F_p^* composé des résidus quadratiques de F_p^*. Soit P₁ la somme des caractères de ψ₁ sur H et P₂ la somme des caractères de ψ₁ sur le complémentaire de H dans F_p^*. L'égalité suivante est alors vérifiée :

$P_1 + P_2 + 1 = \sum_{\bar k \in \mathbb F_p} \psi_1 (\bar k) \;$

Or ψ₁ est un caractère additif différent du caractère constant sur F_p, il lui est donc orthogonal, on en déduit :

$\sum_{\bar k \in \mathbb F_p} \psi_1 (\bar k) = 0 \quad et \quad -P_2 = P_1 + 1 \;$

La valeur G(μ, ψ₁) de la dernière proposition du paragraphe précédent s'exprime de la manière suivante :

$G(\mu, \psi_1) = P_1 - P_2 = 1 + 2 P_1\;$

Enfin, l'application de F_p^* dans H qui à la classe de x associe la classe de x² est une application surjective telle que toute image admet exactement deux antécédents, en conséquence :

$\tau_p = \sum_{k=1}^p exp(\frac {2 \pi i k^2}p) = 1 + \sum_{k= 1}^{p -1} \omega^{k^2} = 1 + \sum_{\bar k \in \mathbb F_p^*} \psi (\bar k^2) = 1 + 2 \sum_{\bar h \in H} \psi (\bar h) = 1 + 2 P_1 = G(\mu, \psi_1) \;$

La dernière proposition du paragraphe précédent termine la démonstration.

[modifier] Loi de réciprocité quadratique

Article détaillé : Loi de réciprocité quadratique.

La loi s'exprime de la manière suivante si q est aussi un nombre premier impair distinct de p :

$\left(\frac{p}{q}\right) \left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}}$

Elle se démontre à l'aide de la somme quadratique de Gauss et des propriétés des sommes.

Démonstration

Considérons l'anneau des entiers algébriques Z[ω]. Il contient τ_p, calculons alors τ_p^q modulo q dans Z[ω].

$\tau_p^q=\Big (\sum_{\bar k \in \mathbb F_p^*} \mu(\bar k) \psi_1(\bar k)\Big)^q \;$

La formule du binôme de Newton, et les diviseurs des coefficients binomiaux montrent que :

$\tau_p^q \equiv \sum_{\bar k \in \mathbb F_p^*} \mu(\bar k)^q \psi_1(\bar k)^q \equiv \sum_{\bar k \in \mathbb F_p^*} \mu(\bar k) \psi_q(\bar k) \equiv G(\mu,\psi_q) \pmod q \;$

La première proposition décrite dans les propriétés des sommes de Gauss montre que :

$\tau_p^q \equiv G(\mu,\psi_q) \equiv \mu(q)G(\mu,\psi_1) \equiv \mu(q)\tau_p \pmod q \;$

Les propriétés du symbole de Legendre montre aussi que :

$\tau_p^q = (\tau_p^2)^{\frac {q-1}{2}}\tau_p = \left( \left( \frac {-1}{p} \right).p \right)^{\frac {q-1}{2}}\tau_p = \left( (-1)^{\frac {p-1}{2}}p\right)^{\frac {q-1}{2}}\tau_p = (-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}}p^{\frac {q-1}{2}}\tau_p \;$

On en déduit l'égalité :

$\mu(q)\tau_p \equiv (-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}}p^{\frac {q-1}{2}}\tau_p \pmod q \;$

En multipliant par τ_p les deux termes de l'égalité et en divisant par p, on obtient :

$\left( \frac qp \right) \equiv (-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}}p^{\frac {q-1}{2}} \equiv (-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}}\left( \frac pq \right) \pmod q \;$

On remarque alors que l'égalité précédente est un produit de facteurs égaux à 1 ou -1, l'égalité précédente est donc aussi une égalité dans Z/qZ et aussi dans Z, on en déduit :

$\left(\frac{p}{q}\right) \left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}}$

Ce qui termine la démonstration.

[modifier] Notes et références

[modifier] Liens externes

(fr) Lemme sur la somme de Gauss par C. Banderier de l'Université de Paris XIII 1998
(fr) Analyse harmonique sur les groupes finis commutatifs par A. Bechata
(fr) Mathématiques discrètes de la transformée de Fourier C. Bachoc Université de Bordeaux I
(fr) Cours de maîtrise de mathématiques : Théorie algébrique des nombres par B. Edixhoven et L. Moret-Bailly de l'Université de Rennes 1 2004

[modifier] Références

Michel Demazure Cours d'algèbre. Primalité, divisibilité, codes Cassini 1997
Jean-Pierre Serre, Cours d'arithmétique [détail des éditions]
A. Warusfel Structures algébriques finies Hachette 1971
G. Peyré L'algèbre discrète de la transformée de Fourier Ellipses Marketing 2004