Négligeable

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En mathématiques, la notion de négligeabilité exprime le fait qu'une fonction numérique « l'emporte » sur une autre. On dit que la deuxième fonction est négligeable devant la première.

Sommaire

[modifier] Définition

Soient I une partie de \R, a un point de l'adhérence de I, f et g des applications de I vers \R

Lorsque a est réel, on dit que f est négligeable devant g au voisinage de a si et seulement si :

\forall\varepsilon >0,\,\exists \eta>0,\,x\in]a-\eta,a+\eta[\cap I\Rightarrow\,f(x)\le \varepsilon\,g(x)

Dans le cas où a est égal à +\infty, on dit que f est négligeable devant g au voisinage de a si et seulement si :

\forall\varepsilon >0,\,\exists A>0,\,x\in[A,+\infty[\cap I\Rightarrow\,f(x)\le \varepsilon\,g(x)

Une définition équivalente et plus utile en pratique pour montrer l'équivalence de deux fonctions en un point a est, dans le cas où g est (sauf peut-être en a) non nulle sur un voisinage de a: f est négligeable devant g au voisinage de a si et seulement si :

\lim_{x\rightarrow a, x\not=a}{f(x) \over g(x)} = 0

On écrit alors f = ao(g) qui se lit « f est un petit o de g au voisinage de a ».

[modifier] Propriétés

  • Si f_1=_a o(g)\, et f_2=_a o(g)\, alors pour tous réels α et β, \alpha\,f_1 + \beta\,f_2=_a o(g)\,
  • Si f_1=_a o(g_1)\, et f_2=_a o(g_2)\, alors f_1 . f_2=_a o(g_1.g_2)\,
  • Si f=_a o(g)\, et h\, bornée au voisinage de a alors h.f=_a o(g)\,
  • Si f_1 =_a o(g)\, et f_2 =_a o(f_1)\, alors f_2 =_a o(g)\, (transitivité)
  • f \sim_a g \Leftrightarrow f - g =_a o(g) \Leftrightarrow f =_a g + o(g)

[modifier] Echelle de comparaison

Une échelle de comparaison Ea est une famille de fonctions définies au voisinage de a (sauf peut-être en a) telle que:
\forall (f,g) \in {E_a}^2,\, f\ne g\ \Rightarrow (f=_a o(g)\ \mathrm{ou} \ g=_a o(f))\,

[modifier] Partie principale d'une fonction par rapport à une échelle

[modifier] Définition

Soient une fonction f\, définie dans un voisinage V de a (sauf peut-être en a), ne s'annulant pas sur V-\{a\}\,, E_a\, une échelle de comparaison en a. On dit que f\, admet la fonction g \in E_a\, comme partie principale par rapport à l'échelle E_a\, si et seulement s'il existe un réel A non nul tel que f \sim_a A.g (ou f = aA.g + o(g)).

[modifier] Propriétés

  • Unicité en cas d'existence
  • Soient f_1\, et f_2\, admettant respectivement g_1\, et g_2\, comme partie principale par rapport à l'échelle de comparaison E_a\,. La partie principale de f_1.f_2\, par rapport à l'échelle de comparaison E_a\, est la fonction g_1.g_2\,
  • Soient f_1\, et f_2\, admettant respectivement g_1\, et g_2\, comme partie principale par rapport à l'échelle de comparaison E_a\,.
  1. Si g_1 =_a o(g_2)\, alors g_2\, est la partie principale de f_1 + f_2\, par rapport à l'échelle de comparaison E_a\,.
  2. Si g_2 =_a o(g_1)\, alors g_1\, est la partie principale de f_1 + f_2\, par rapport à l'échelle de comparaison E_a\,.
  3. Si g_1 = g_2\, et que A_1 + A_2 \ne 0\, alors g_1\, est la partie principale de f_1 + f_2\, par rapport à l'échelle de comparaison E_a\,.

[modifier] Comparaison pour les suites

[modifier] Définition

Une suite (u_n)\, de nombres réels est dite négligeable devant une suite réelle (v_n)\, lorsque :

\forall\varepsilon >0,\,\exists N\in\N,\,n\ge N\,\Rightarrow\,u_n\le \varepsilon\,v_n

Une définition équivalente : une suite (u_n)\, de nombres réels est dite négligeable devant une suite réelle (v_n)\, lorsqu'il existe une suite (\varepsilon_n)_{n\geq N_0}\, de limite nulle tel que:

\forall n\geq N_0,\qquad u_n=\varepsilon_nv_n\,

On note: u_n=o(v_n)\,

[modifier] Propriété

Une définition plus utile en pratique pour montrer l'équivalence de deux suites est :

u_n=o(v_n) \Leftrightarrow \lim_{n \to +\infty}\frac{u_n}{v_n}=0 \Leftrightarrow \forall \varepsilon>0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \in \mathbb{N},n \geq N \Rightarrow |u_n| \leq \varepsilon |v_n|

[modifier] Voir aussi