Triangle de Pascal

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En mathématiques, le triangle de Pascal, est un arrangement géométrique des coefficients binomiaux dans un triangle. À la ligne i et à la colonne j (0 ≤ j ≤ i) est placé le coefficient binomial ${i \choose j}$ .

Il a été très tôt utilisé pour développer des expressions de la forme $(a + b)^n\,$

1
1	1
1	2	1
1	3	3	1
1	4	6	4	1
1	5	10	10	5	1
1	6	15	20	15	6	1
1	7	21	35	35	21	7	1
1	8	28	56	70	56	28	8	1
1	9	36	84	126	126	84	36	9	1
1	10	45	120	210	252	210	120	45	10	1

[modifier] Histoire

Triangle arithmétique chinois

La tradition attribue le nom de triangle de Pascal au triangle décrit plus haut. Cependant, ce triangle était déjà connu en Orient et moyen Orient plusieurs siècles avant la publication de Blaise Pascal. Il était ainsi connu des mathématiciens persans, par exemple al-Karaji (953 - 1029)^[1] ou Omar Khayyam au XI^e siècle qui l'utilisent pour développer (a + b)ⁿ . Il apparaît en Chine dès 1261 dans un ouvrage de Yang Hui (au rang 6) et dans le Miroir de jade des quatre éléments de Zhu Shijie en 1303 (au rang 8). Yang Hui attribue la paternité du triangle au mathématicien chinois du XI^e siècle Jia Xian. Ce triangle permettait de présenter les coefficients des différents termes dans la formule du binome et, selon V.J. Katz, il était utilisé pour généraliser à des degrés supérieurs à deux la méthode d'extraction de racine ^[2].

En Europe, il apparait dans l'ouvrage de Peter Apian, Rechnung ^[3] (1527). Il est étudié par Michael Stifel(1486 - 1567) ^[4] et Tartaglia (1499 - 1557). C'est d'ailleurs sous le nom de Triangle de Tartaglia qu'il est connu en Italie. Mais c'est Blaise Pascal qui lui consacre un traité : le traité du triangle arithmétique (1654) démontrant 19 de ses propriétés, propriétés découlant en partie de la définition combinatoire des coefficients. Nombre de ces propriétés étaient déjà connues mais admises et non démontrées. Pour les démontrer, Pascal met en place dans son traité une version aboutie du raisonnement par récurrence. Il y démontre le lien entre le triangle et la formule du binome. Il l'exploite dans un problème de lancer de pièce équilibrée (problème des partis).

[modifier] Construction

[modifier] Combinatoire

En écrivant la formule de Pascal,

pour tous entiers i et j tels que 0 < j < i, ${i \choose j}={i-1 \choose j-1}+{i-1 \choose j}$

nous remarquons que le coefficient de la ligne i et colonne j s'obtient en ajoutant les coefficients de la ligne i - 1 et colonne j - 1 et de la ligne i - 1 et colonne j. De plus nous savons que

${n \choose 0}={n \choose n}=1$ .

Nous en déduisons une méthode de construction du triangle de Pascal :

nous plaçons dans la colonne 0 des 1 à chaque ligne, et des 1 à chaque entrée de la diagonale,
en partant du haut et en descendant, nous complétons le triangle en ajoutant deux coefficients adjacents d'une ligne, pour produire le coefficient de la ligne inférieure, en dessous du coefficient de droite.

Suivant le schéma suivant, il est simple de ne pas se tromper :

A  +  B
     ||
   (A+B)

[modifier] Matricielle

Matrice binomiale en tant que matrice exponentielle (matrices 5x5). Tous les points sont des zéros.

Facile à construire à partir des factorielles, il est possible de représenter le triangle de Pascal à l'aide de l'exponentielle d'une matrice : le triangle est le résultat de l'exponentielle d'une matrice dont la sous-diagonale contient 1, 2, 3, 4, …, zéro ailleurs.

[modifier] Informatique

Écrivons l'algorithme, en langage formel, de construction du triangle de Pascal. Notez que cet algorithme crée une nouvelle ligne à partir de la précédente.

Variables :
Tableau de 1 à X de tableau de 1 à X d'entiers c (tableau bidimensionnel)
Entiers i, j, n, x

n ← 10
c[0][0] ← 1

pour i de 1 à n faire
     c[i][0] ← 1
     c[i][i] ← 1
     pour j de 1 à i-1 faire
          c[i][j] ← c[i-1][j-1] + c[i-1][j]
     finpour
finpour
afficher_tableau(c)

[modifier] Programme Pascal

program triangle_pascal;
uses wincrt;
type Matrice=array[1..20,1..20]of integer;
var
   n:integer;
   m:Matrice;
procedure remplir(n:integer;var M:Matrice);
          var
             i,j:integer;
          begin
               M[1,1]:=1;
               for i:=2 to n do
                   begin
                        M[i,1]:=1;
                        M[i,i]:=1;
                        for j:=2 to i-1 do
                        M[i,j]:=M[i-1,j-1]+M[i-1,j];
                   end;
          end;
 
procedure affi(n:integer;M:Matrice);
          var
             i,j:integer;
          begin
               For i:=1 to n do
                        Begin
                                For j:=1 to i do
                                         write(M[i,j]:5);
                                         writeln;
                        End ;
 
          end;
 
begin
n:=8;
writeln('*********** Triangle de Pascal ***********');
writeln;
writeln;
     remplir(n,m);
     affi(n,m);
end.

[modifier] Propriétés

[modifier] Liées à la construction

La somme des termes d'une ligne : la somme des termes sur la ligne de rang n (première ligne = rang 0) est égale à 2ⁿ.
Les crosses de hockey : Si on fait la somme des termes, en partant d'un bord du triangle et en descendant verticalement, on obtient le terme situé en diagonale en bas à droite du dernier terme de la colonne. Si on fait la somme des termes, en partant d'un bord du triangle et en descendant en diagonale vers la droite, on obtient le terme situé sous le dernier terme de la diagonale.

Exemple : descente de 4 termes dans la colonne de rang 3 : 1 + 3 + 6 + 10 =.20 terme situé en bas à droite du dernier terme

Exemple : Descente en diagonale de 5 termes à partir de la ligne de rang 4 : 1 + 5 + 15 + 35 + 70 = 126 terme situé sous le dernier
Diagonale ascendante : la somme des termes d'une diagonale ascendante correspond à l'un des termes de la suite de Fibonacci

Diagonales ascendantes de rang 1, 2, 3, 4, 5 : 1, 1, 1 + 1 = 2 , 1 + 2 = 3, 1 + 3 + 1 = 5
Chaque ligne possède un centre de symétrie

[modifier] Formule du binôme

Article détaillé : Formule du binôme de Newton.

Le triangle de Pascal est souvent utilisé dans les développements binomiaux. En effet, on trouve sur une même ligne tous les coefficents intervenant dans le développement d'une puissance de la somme de deux termes.

Exemple : $(X+1)^2=X^2+2X+1^2\,$ et on note que les coefficients de chaque monôme sont ceux de la troisième ligne du triangle de Pascal (la ligne de rang 2), c'est-à-dire 1, 2, 1.

Généralisation : $(X+Y)^n=a_0X^nY^0+a_1X^{n-1}Y+a_2X^{n-2}Y^2+\ldots+a_nY^nX^0\,$ , où les coefficients sont ceux qui se trouvent sur la n+1^e ligne du triangle de Pascal (ligne de rang n).

Connaissant ainsi la formule de sommation $(a+b)^n =\sum_{i=0}^n\,{n \choose i}a^{n-i}b^{i}$ , plusieurs propriétés apparaissent simplement.

Posons a = b = 1, on a alors $2^n =\sum_{i=0}^n\,{n \choose i}\,{}$ .

Posons a = 1 et b = -1, on a alors $0 = \sum_{i=0}^n\,{n \choose i}\,(-1)^i$ .

Connaissant ces deux égalités, dont l'une est une somme alternée, il vient que la somme des termes d'ordre 0, 2, 4,... dans une rangée est $2 n - 1$ et est égale à la somme des termes d'ordre 1, 3, 5, ....

[modifier] Propriété liée au dénombrement

Le nombre situé dans la colonne p(en comptant à partir de 0 les colonnes) et la ligne n (en comptant à partir de 0 les lignes) indique le nombre de combinaisons possibles de p éléments dans un ensemble à n éléments.

Dans la ligne n et la colonne p, on a ${n \choose p}= \frac{n!}{p!(n-p)!}$ .

Dans la ligne n et la colonne p, on lit le nombre de fois où l'on peut espérer obtenir p piles et n-p faces lors de 2ⁿ lancers d'une pièce équilibrée ^[5]
En multipliant un terme par le rang de sa colonne et en le divisant par le rang de sa ligne, on obtient le terme situé en cran plus haut sur la gauche

exemple le terme dans la ligne 6 et la colonne 4 est 15 (on rappelle que les lignes et les colonnes sont numérotées en commençant à 0); Or 15 × 4/6=10 situédans la case juste à côté en haut à gauche.
En multipliant le terme de ligne n et de colonne p par $\frac{n-p}{p+1}$ , on obtient son voisin sur la droite
Tous les termes de la ligne de rang n (sauf le premier et le dernier) est un multiple de n si et seulement si n est un nombre premier

[modifier] Nombres de Catalan

Article détaillé : Nombre de Catalan.

Toutes les lignes de rang pair (2n) ont un terme central, en divisant ce terme par n+1 ou en lui ôtant son voisin, on obtient un nombre de Catalan.

[modifier] Triangle de Sierpinski

Article détaillé : triangle de Sierpiński.

Un triangle de Sierpiński

En grisant les cases où apparaît un nombre impair et blanchissant les cases où apparaît un nombre pair, on obtient une image analogue au triangle de Sierpinski ^[6]. Il en est de même si on noircit toutes les cases qui ne sont pas congrue à 0 modulo p.

[modifier] Nombres figurés

Article détaillé : Nombre figuré.

Les nombres situés sur la troisième diagonale descendante correspondent aux nombres triangulaires ceux de la quatrième diagonale aux nombres tétraédriques, ceux de la cinquième diagonale aux nombres pentatopiques et ceux de la n-ième diagonale aux nombres n-topiques.

[modifier] Formules trigonométriques

La formule du binome appliqué à la formule d'Euler $(c o s (θ) + i sin(θ)) n = cos(n θ) + i sin(n θ)$ permet de développer cos(nθ) et sin(nθ) Les coefficients situés sur la ligne de rang n permettent d'écrire tan(nθ) en fonction de t = tan(θ)

Exemple : sur la ligne 4 on lit 1 - 4 - 6 - 4 - 1 et $\tan(4\theta) = \frac{4t -4t^3 }{1-6t^2 + t^4}$

Formule générale : $\tan(n\theta) = \frac{\sum_{k=0}^{[(n-1)/2]}{(-1)^k {n \choose 2k+1}t^{2k+1}}}{\sum_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k{n \choose 2k}t^{2k}}$ .

Les coefficients situés sur une diagonale ascendante permettent d'exprimer sin(n θ) comme produit de sin(θ) par un polynome en cos(θ);

Exemple : sur la diagonale ascendante de rang 5, on lit 1 - 3 - 1 et $\sin(5\theta)=\sin(\theta)\left((2\cos(\theta)^4 - 3(2\cos(\theta))^2 + 1)\right)$

Généralisation ^[7] : si les termes de la diagonale ascendante de rang n sont $a_{n,0}, a_{n,1}, \cdots a_{n,[(n-1)/2]}$ , on a $\sin(n\theta) = \sin(\theta)\left(\sum_{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^k a_{n,k}\left(2\cos(\theta)\right)^{n-1-2k}\right)$

Par conséquent, les coefficients situés sur la diagonale ascendante de rang n permettent de déterminer un polynôme de degré [(n-1)/2] dont les racines sont les valeurs $\left(2\cos\left(\frac{k\pi}{n}\right)\right)^2$ ^[8] pour k variant de 1 à [(n-1)/2]

Exemple : sur la diagonale de rang 7, on lit 1 - 5 - 6 - 1, on sait donc $(2\cos(\frac{k\pi}{7})^2$ sont racines de

P (x) = x 3 - 5 x 2 + 6 x - 1

Généralisation : $P(x) = \sum_{k=0}^{[(n-1)/2} (-1)^ka_{n,k} x^{[(n-1)/2] - k}$ a pour racines $\left(2\cos\left(\frac{k\pi}{n}\right)\right)^2$

[modifier] Généralisations

La formule du binôme généralisé est une importante généralisation du triangle de Pascal, car elle permet de manipuler des nombres complexes dans la base, tout comme d'utiliser des exposants complexes.

Le triangle de Pascal se généralise aisément à des dimensions supérieures. La version tridimensionnelle s'appelle la pyramide de Pascal.

[modifier] Annexes

[modifier] Notes et références

↑ Biographie d'Al Kaaji sur le site de l'université de Saint-Andrew
↑ Katz, V.J. (1992) A History Of Mathematics : An Introduction d'après http://www.roma.unisa.edu.au/07305/pascal.htm
↑ Site de Gérard Vilemin
↑ Note historique sur le triangle arithmétique, de R.P. Bosmans
↑ Formule exploitée par Pascal dans son problème des partis
↑ Yan Stewart, « Les fractals de Pascal », Pour la science, no 129, (1988), p.100-105. Selon ce site
↑ Henri Immediato, Réflexions lors de la lecture d'un article "Pour la science" sur les travaux du mathématicien Li Shanlan
↑ Triangle de Pascal pour calculer cos(pi/n)

[modifier] Articles connexes

Coefficient binomial
Combinaison
Combinatoire
Loi normale, une généralisation dans le domaine des nombres réels

[modifier] Liens externes

(en) Pascal's Triangle From Top To Bottom
(en) Traité du triangle arithmétique
(en) Leibniz and Pascal Triangles
(en) Dot Patterns, Pascal Triangle and Lucas Theorem

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