Formule du binôme de Newton

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La formule de Newton est une formule mathématiques donnée par Isaac Newton pour trouver le développement d'une puissance entière quelconque d'un binôme. Il est aussi appelé formule du binôme de Newton, ou plus simplement formule du binôme.

[modifier] Énoncé

Soit un binôme composé des termes x et y défini sur un anneau qui commutent (c'est-à-dire tels que xy=yx), et un entier naturel n,

$(x+y)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} y^k$

où les nombres

${n \choose k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}$

(parfois aussi notés $C_n^k$ ) sont les coefficients binomiaux.

Remplacer dans la formule y par -y revient à prendre le second terme comme négatif :

$(x-y)^n=\Big(x+(-y)\Big)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} (-y)^k$

Exemples :

$\begin{array}{lcl}n=2,& (x + y)^2 &= x^2 + 2xy + y^2\\ n=3,& (x - y)^3 &= x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3\\ n=4,& (x + y)^4 &= x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4\\ n=7,& (x + y)^7 &= x^7+7x^6y+21x^5y^2+35x^4y^3+35x^3y^4+21x^2y^5+7xy^6+y^7\\ n=10,& (x + y)^{10} &= x^{10}+10x^9y+45x^8y^2+120x^7y^3+210x^6y^4\\&&\quad {}+252x^5y^5+210x^4y^6+120x^3y^7+45x^2y^8+10xy^9+y^{10}\end{array}$

[modifier] Démonstration

Soient x, y des éléments d'un anneau tels que xy=yx et n un entier naturel.

$(x+y)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} y^k$

Démontrons cette formule par récurrence.

[modifier] Initialisation

$n=0~,\qquad(x+y)^0=1={0 \choose 0}x^0y^0$

$n=1~,\qquad(x+y)^1= x + y ={1 \choose 0}x^1y^0 + {1 \choose 1}x^0y^1$

[modifier] Hérédité

Soit n un entier supérieur ou égal à 1, montrons que si la relation est vraie pour n, elle l'est aussi pour n+1 :

Par hypothèse de récurrence :

$(x+y)^{n+1}=(x+y)\cdot\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} y^k,$

Par distributivité de $\cdot$ sur $+$ :

$(x+y)^{n+1}=x^{n+1}+x\cdot\sum_{k=1}^n {n \choose k} x^{n-k} y^k +y\cdot\sum_{k=0}^{n-1} {n \choose k} x^{n-k} y^k + y^{n+1}$

Par factorisation :

$(x+y)^{n+1} =x^{n+1}+\sum_{k=1}^n \left\lbrack {{n} \choose {k}} + {{n} \choose {k-1}} \right\rbrack x^{n-k+1} y^{k}+ y^{n+1}$

En utilisant la formule du triangle de Pascal :

$(x+y)^{n+1} =x^{n+1}+\sum_{k=1}^n {{n+1}\choose k}~x^{n-k+1} y^{k}+y^{n+1}$

Ce qui termine la démonstration.

[modifier] Variante

Une ébauche de preuve beaucoup plus intuitive utilise le fait que le coefficient binomial ${n \choose k}$ est le nombre de parties à $k$ éléments dans un ensemble à $n$ éléments. Quand on développe l'expression

$(x+y)^n=(x+y)(x+y)\cdots(x+y)\qquad (n \text{ fois,})$

on obtient une somme de monômes de la forme $x p y q$ où $p$ et $q$ représentent respectivement le nombre de fois qu'on a choisi $x$ ou $y$ en développant. On a forcément $p + q = n$ , puisqu'à chaque fois qu'on ne choisit pas $x$ , on choisit $y$ . Enfin, comme il y a ${n \choose k}$ manières différentes de choisir $k$ fois la valeur $x$ parmi les $n$ expressions $(x + y)$ multipliées ci-dessus, le monôme $x k y n - k$ doit apparaître dans le développement avec le coefficient ${n \choose k}$ .