Théorème de Moivre-Laplace

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Une planche de Galton illustre le fait que la loi binomiale tend vers la loi normale
Une planche de Galton illustre le fait que la loi binomiale tend vers la loi normale

Le Théorème de Moivre-Laplace stipule que si la variable Sn suit une loi binomiale d'ordre n et de paramètre 0 < p < 1, alors pour n suffisamment grand la variable

Z_n = \frac{(S_n-np)}{\sqrt{np(1-p)}}

converge en loi vers une loi normale centrée et réduite N(0, 1).

Autrement dit si Sn suit une loi binomiale la probabilité d'avoir au plus s succès est donné par:

\operatorname{P}(S_n \le s) = \sum_{k=0}^{\lfloor s \rfloor}{n \choose k}p^k (1-p)^{n-k}

Et si Φ est la fonction de répartition de N(0,1) on a alors:

\lim_{n\to\infty}\operatorname{P}(S_n \le s) = \Phi \left( \frac{s - np}{\sqrt{np(1-p)}} \right)


Cette convergence est bonne en général pour np(1 − p) > 9.


Abraham de Moivre fut le premier à l’établir dans le cas particulier p = 1 / 2 en 1733, tandis que Pierre-Simon Laplace a pu le généraliser pour toute valeur de p en 1812. Il s'agit d'un cas particulier du Théorème de la limite centrale.

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