Théorème d'Hurwitz

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Le Théorème d'Hurwitz est un résultat de mathématiques concernant la théorie des nombres. Il est traite d'approximation diophantienne.

[modifier] Enoncé

Soit $ε$ un nombre irrationnel, et c un nombre réel positif inférieur ou égal à √5, il existe une infinité de nombres rationnels de la forme a / b avec a et b des nombres entiers premiers entre eux tels que:

$\left| \epsilon - \frac{a}{b} \right| \leq \frac{1}{c b^2} \,$

De plus, si c est strictement plus grand que √5, il existe des irrationnels ε pour lesquels l'inégalité ci-dessus n'est vérifiée que pour un nombre fini de nombres rationnels.

L'irrationnel qui s' approxime le plus mal par des rationnels au sens précédent est le nombre d'or, égal à (1+ √5)/2. En ce sens, on dit parfois que le nombre d'or est le plus irrationnel des nombres réels.

Toute approximation vérifiant le théorème d'Hurwitz est nécessairement une expression réduite de la fraction continue du nombre. Ce résultat est établi dans l'article Fraction continue.

[modifier] Démonstration

Commençons par le deuxième point. Prenons $c = \frac{\sqrt{5}}{\alpha}$ avec $0 < α < 1$ , et $\epsilon = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ . Si $\theta = \sqrt{5} b^2 \left( \frac{\sqrt{5}+1}{2} - \frac{a}{b} \right)$ , alors, on souhaite avoir $| θ | < α$ . En arrangeant les termes et en élevant au carré, on trouve

$a^2 - ab - b^2 = \theta + \frac{\theta^2}{5k^2} \,$ . Si on considère $P (a) = a 2 - a b - b 2$ comme un polynôme en a, on a $P(a)=0 \Leftrightarrow a = \frac{(1 \pm \sqrt{5})b}{2}$ , mais, comme a et b sont entiers, ce n'est pas possible. Idem pour P(b). Donc $|a^2 - ab - b^2 | \geq 1 \,$

$1 \leq \left| \theta + \frac{\theta^2}{5b^2} \right| \leq |\theta| + \frac{| \theta | ^2}{5b^2} \leq \alpha + \frac{ \alpha ^2}{5b^2}$

Soit encore $b^2 < \frac{\alpha ^2}{5(1-\alpha )}\,$ , ce qui donne un nombre fini de solutions pour b. Comme a doit vérifié l'inégalité citée dans l'énoncé du théorème, cela donne un nombre fini de nombres rationnels solutions.

Pour la démonstration du premier point, considérons une suite de Farey d'ordre N, avec et 2 termes consécutifs tels que . On peut vérifier que :
- soit $b' > \frac{b \sqrt{5}+1}{2}$
- soit $b' < \frac{b \sqrt{5}-1}{2}$

Si $\omega = \frac{b'}{b}$ , on a $\omega > \frac{\sqrt{5}+1}{2}$ ou $\omega < \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ . On peut montrer que $1+\omega ^{-2} > \sqrt{5} w^{-1}$ , d'où

$\frac{1}{\sqrt{5}} \left(\frac{1}{b^2} + \frac{1}{b'^2} \right) > \frac{1}{\omega b^2}$ . Mais d'un autre côté, $\frac{a'}{b'} - \frac{a}{b} < \frac{1}{\sqrt{5}} \left(\frac{1}{b^2} + \frac{1}{b'^2} \right)$ , ce qui termine l'ébauche de démonstration.