Suite de Farey

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Pour les articles homonymes, voir Farey.

En mathématiques, la suite de Farey d'ordre n est la suite des fractions irréductibles entre 0 et 1 dont le dénominateur est inférieur ou égal à n et en ordre croissant.

Chaque suite de Farey commence avec la valeur 0, décrite par la fraction ⁰⁄₁, et finit avec la valeur 1, décrite par la fraction ¹⁄₁ (bien que certains auteurs omettent ces termes).

Une suite de Farey est quelquefois appelée série de Farey, ce qui n'est pas véritablement correct, les termes n'étant pas additionnés.

[modifier] Exemples

Les suites de Farey d'ordre 1 à 8 sont :

F₁ = {⁰⁄₁, ¹⁄₁}

F₂ = {⁰⁄₁, ¹⁄₂, ¹⁄₁}

F₃ = {⁰⁄₁, ¹⁄₃, ¹⁄₂, ²⁄₃, ¹⁄₁}

F₄ = {⁰⁄₁, ¹⁄₄, ¹⁄₃, ¹⁄₂, ²⁄₃, ³⁄₄, ¹⁄₁}

F₅ = {⁰⁄₁, ¹⁄₅, ¹⁄₄, ¹⁄₃, ²⁄₅, ¹⁄₂, ³⁄₅, ²⁄₃, ³⁄₄, ⁴⁄₅, ¹⁄₁}

F₆ = {⁰⁄₁, ¹⁄₆, ¹⁄₅, ¹⁄₄, ¹⁄₃, ²⁄₅, ¹⁄₂, ³⁄₅, ²⁄₃, ³⁄₄, ⁴⁄₅, ⁵⁄₆, ¹⁄₁}

F₇ = {⁰⁄₁, ¹⁄₇, ¹⁄₆, ¹⁄₅, ¹⁄₄, ²⁄₇, ¹⁄₃, ²⁄₅, ³⁄₇, ¹⁄₂, ⁴⁄₇, ³⁄₅, ²⁄₃, ⁵⁄₇, ³⁄₄, ⁴⁄₅, ⁵⁄₆, ⁶⁄₇, ¹⁄₁}

F₈ = {⁰⁄₁, ¹⁄₈, ¹⁄₇, ¹⁄₆, ¹⁄₅, ¹⁄₄, ²⁄₇, ¹⁄₃, ³⁄₈, ²⁄₅, ³⁄₇, ¹⁄₂, ⁴⁄₇, ³⁄₅, ⁵⁄₈, ²⁄₃, ⁵⁄₇, ³⁄₄, ⁴⁄₅, ⁵⁄₆, ⁶⁄₇, ⁷⁄₈, ¹⁄₁}

[modifier] Histoire

L'histoire des 'séries de Farey' est très curieuse — Hardy & Wright (1979) Chapitre III

... une fois encore, l'homme dont le nom fut donné à la relation mathématique n'était pas celui qui l'a découverte. — Beiler (1964) Chapitre XVI

Les suites de Farey furent nommées en l'honneur du géologue britannique, Sir John Farey. Sa lettre à propos de ces suites fut publiée dans le Philosophical Magazine en 1816. Farey conjectura que chaque terme dans une telle suite est le médian de ses voisins — néanmoins, à ce que l'on connaît, il ne prouva pas cette propriété. La lettre de Farey fut lue par Cauchy, qui donna la preuve dans ses Exercices de mathématique, et attribua ce résultat à Farey. En fait, un autre mathématicien, C. Haros, publia des résultats similaires en 1802 qui ne fut pourtant certainement pas autant connu que Farey ou Cauchy. Ainsi, c'est un accident historique qui relie le nom de Farey à ces suites.

[modifier] Propriétés

[modifier] Nombre de termes d'une suite de Farey

La suite de Farey d'ordre n contient tous les éléments des suites de Farey d'ordre inférieur. En particulier, F_n contient tous les éléments de la suite F_n−1, ainsi qu'une fraction supplémentaire pour chaque entier inférieur à n et premier avec n. Ainsi, la suite F₆ est composée des éléments de la suite F₅ auxquels il faut ajouter les fractions ¹⁄₆ et ⁵⁄₆. Le terme médian d'une suite de Farey est toujours ¹⁄₂, lorsque n > 1.

Il est possible de relier le nombre de termes de F_n (noté $| F n |$ ) et celui de F_n−1 en utilisant la fonction $\varphi\,$ d'Euler :

$|F_n| = |F_{n-1}| + \varphi(n)$

En utilisant le fait que |F₁| = 2, le nombre de termes de F_n peut donc s'exprimer en fonction de n de la façon suivante :

$|F_n| = 1 + \sum_{m=1}^n \varphi(m)$

Le comportement asymptotique de |F_n| est :

$|F_n| \sim \frac {3n^2}{\pi^2}$

[modifier] Les voisins dans une suite de Farey

Les fractions qui sont des termes voisins dans une suite de Farey ont les propriétés suivantes.

Si ^a⁄_b et ^c⁄_d sont voisins dans une suite de Farey, avec ^a⁄_b < ^c⁄_d, alors leur différence ^c⁄_d − ^a⁄_b est égale à ¹⁄_bd. Comme

$\frac{c}{d}-\frac{a}{b}=\frac{(bc-ad)}{bd}$ ,

il est équivalent de dire ceci

bc − ad = 1.

Ainsi ¹⁄₃ et ²⁄₅ sont voisins dans F₅, et leur différence est ¹⁄₁₅.

L'inverse est également vrai. Si

bc − ad = 1

pour les entiers naturels a,b,c et d avec a < b et c < d alors ^a⁄_b et ^c⁄_d seront voisins dans la suite de Farey dans l'ordre max(b,d).

Si ^p⁄_q possèdent des voisins ^a⁄_b et ^c⁄_d dans certaines suites de Farey, avec

^a⁄_b < ^p⁄_q < ^c⁄_d

alors ^p⁄_q est le médian de ^a⁄_b et ^c⁄_d — en d'autres mots,

$\frac{p}{q}=\frac{(a+c)}{(b+d)}$ .

Et, si ^a⁄_b et ^c⁄_d sont voisins dans une suite de Farey alors le premier terme qui apparaît entre eux lorsque l'ordre de la suite de Farey est augmenté est

$\frac{(a+c)}{(b+d)}$ ,

lequel apparaît en premier dans la suite de Farey d'ordre b+d.

Ainsi, le premier terme apparaissant entre ¹⁄₃ et ²⁄₅ est ³⁄₈, qui apparaît dans F₈.

L'arbre de Stern-Brocot est une structure de données montrant comment la suite est construite à partir de 0 (= ⁰⁄₁) et 1 (= ¹⁄₁), en prenant les médians successifs.

Les fractions qui apparaîssent comme voisines dans une suite de Farey possèdent pour fermeture un développement en fraction continue reliée. Chaque fraction possède deux développements en fractions continues - dans l'un, le terme final est 1 ; et dans l'autre, le terme final est plus grand que 1. Si ^p⁄_q, qui apparaît en premier dans la suite de Farey F_q, admet un développement en fraction continue

[0; a 1, a 2,..., a n - 1, a n,1]

[0; a 1, a 2,..., a n - 1, a n + 1]

alors le voisin le plus proche de ^p⁄_q dans F_q (lequel sera celui de ses voisins ayant le plus grand dénominateur) admet un développement en fraction continue

[0; a 1, a 2,..., a n]

et son autre voisin admet un développement en fraction continue

[0; a 1, a 2,..., a n - 1]

Ainsi ³⁄₈ possède les deux développements en fraction continue [0;2,1,1,1] et [0;2,1,2], et ses voisins dans F₈ son ²⁄₅, lesquels peuvent être développés en [0;2,1,1]; et ¹⁄₃, lequel peut être développé en [0;2,1].

Article détaillé : Arbre de Stern-Brocot.

[modifier] Cercles de Ford

Il existe une relation intéressante entre les suites de Farey et les cercles de Ford.

Pour toute fraction (réduite) p/q il existe un cercle de Ford C[p/q], qui est le cercle de rayons 1/2q² et de centre (p/q,1/2q²). Les cercles de Ford correspondant à deux fractions distinctes sont soit disjoints soit tangents - deux cercles de Ford ne peuvent pas être sécants. Si 0<p/q<1, alors les cercles de Ford qui sont tangents à C[p/q] sont précisément les cercles de Ford associés aux fractions qui sont voisines de p/q dans une suite de Farey.

Ainsi C[2/5] est tangent à C[1/2], C[1/3], C[3/7], C[3/8], etc.

Article détaillé : Cercle de Ford.

[modifier] Hypothèse de Riemann

Les suites de Farey sont utilisées dans deux formulations équivalentes de l'hypothèse de Riemann. Supposons que les termes de $F_n\,$ soient $\{a_{k,n} : k = 0, 1, \ldots m_n\}\,$ . Définissons $d_{k,n} = a_{k,n} - k/m_n\,$ , en d'autres mots $d k, n$ est la différence entre le k-ème terme de la n-ème suite de Farey, et le k-ème membre d'un ensemble de même nombre de points, distribués également sur l'intervalle unité. Franel et Landau ont démontré que les deux énoncés :

$\sum_{k=1}^{m_n} |d_{k,n}| = O(n^r)$ pour tout r>1/2, et

$\sum_{k=1}^{m_n} d_{k,n}^2 = O(n^r)$ pour tout r>-1,

sont équivalents à l'hypothèse de Riemann.

Article détaillé : Hypothèse de Riemann.

[modifier] Un algorithme simple

De manière surprenante, un algorithme simple existe pour engendrer les termes dans un ordre, soit traditionnel (ascendant), soit non-traditionnel (descendant) :

 100   'Code UBASIC pour engendrer une Suite de Farey d'ordre N dans l'ordre traditionnel
 110   N=7:NumTerms=1
 120   A=0:B=1:C=1:D=N
 140   print A;B
 150   while (C<N)
 160      NumTerms=NumTerms+1
 170      K=int((N+B)/D)
 180      E=K*C-A:F=K*D-B
 190      A=C:B=D:C=E:D=F:print A;B
 200   wend
 210   print NumTerms
 220   end

(Note : aucune manipulation spéciale n'est requise près de la ligne 180 pour réduire chaque terme en une fraction réduite)

Pour engendrer la suite dans un ordre descendant (non-traditionnel) :

 120   A=1:B=1:C=N-1:D=N
 150   while (A>0)

Des recherches en force brute pour les solutions d'équations diophantiennes rationnelles peuvent souvent prendre l'avantage sur les suites de Farey (pour chercher seulement celles en formes réduites); la ligne 120 peut aussi être modifiée pour inclure deux termes adjacents quelconques afin d'engendrer seulement les termes plus grands (ou plus petits) qu'un terme donné.