Théorème d'Abel (analyse)

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Le théorème d'Abel, ou théorème de convergence radiale d'Abel, est un outil central de l'étude des séries entières.

Théorème — Soit \textstyle f(x)= \sum_{n \geqslant 0} a_n x^n une série entière de rayon de convergence égal à R. Si \textstyle\sum_{n\geqslant 0} a_n R^n converge, alors :

\lim_{x\to R^-} f(x) = \sum_{n \geqslant 0} a_nR^n.
Démonstration

Quitte à effectuer un changement de variables linéaire u = x / R, on peut considérer uniquement le cas R = 1.

La démonstration repose sur la méthode classique de la transformation d'Abel, équivalente à l'intégration par parties pour les intégrales. Notons Sn les sommes partielles de la série \textstyle\sum_{n\geqslant 0} a_n (avec la convention S − 1 = 0) et l sa somme, alors :

\sum_{n=0}^{N}(S_n-S_{n-1})x^n = \sum_{n=0}^{N}S_n(x^n-x^{n+1}) + S_Nx^{N+1}

Pour tout x < 1, on a donc prouvé que \textstyle f(x)=(1-x)\sum_{n=0}^{\infty}S_nx^n . Prenons N0 tel que | Sn − l | < ε pour tout n\geqslant N_0, alors pour 0 < x < 1:

(1-x)\sum_{n=0}^{N_0}S_nx^n + (1-x)(l-\varepsilon)\sum_{n=N_0+1}^{\infty}x^n \leqslant f(x) \leqslant (1-x)\sum_{n=0}^{N_0}S_nx^n + (1-x)(l+\varepsilon)\sum_{n=N_0+1}^{\infty}x^n

Comme \textstyle\sum_{n=N_0+1}^{\infty}x^n = \frac{x^{N_0+1}}{1-x}, les membres de gauche et de droite tendent respectivement vers l − ε et l + ε quand x tend vers 1.

Remarque : Dans le cas où \textstyle\sum_{n \geqslant 0} a_nR^n converge absolument, le résultat est trivial, et il n'y a donc pas lieu d'invoquer ce théorème.

Exemple (1) :
Soit \textstyle f(x)= \sum_{n \geqslant 1} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} = \log (1+x). Comme \textstyle\sum_{n \geqslant 1} \frac{(-1)^{n+1}}{n} converge (d'après le critère de convergence des séries alternées), on en déduit que :
\lim_{x \to 1^-} f(x) = \log 2 = \sum_{n \geqslant 1} \frac{(-1)^{n+1}}{n}
Exemple (2) :
Soit \textstyle g(x)= \sum_{n \geqslant 0} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} = \arctan (x). Encore par le critère de convergence des séries alternées, on peut affirmer que \textstyle\sum_{n \geqslant 0} \frac{(-1)^n}{2n+1} converge, d'où :
\lim_{x \to 1^-} g(x) = \arctan (1) = \frac{\pi}{4} = \sum_{n \geqslant 0} \frac{(-1)^n}{2n+1}