Table d'intégrales

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[modifier] Intégrales définies

On appelle intégrale définie dans l'intervalle [a,b]

\left[ F(x) \right]_{a}^{b} = \int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a)

lorsque F\, est une primitive quelconque de f\, et que a\, et b\, sont les bornes de l'intégrale.

Il existe des fonctions qui sont intégrables mais dont aucune primitive ne peut être exprimée sous une « forme close ». Toutefois une valeur de certaines intégrales définies de ces fonctions peut être calculée. Quelques valeurs d'intégrales particulières de certaines fonctions sont données ici.

\int_0^{+\infty}x^n {e^{-x}\,dx} = n!   pour n = 0, 1, 2,... (fonction Gamma Γ(n + 1) )
\int_0^{+\infty}{\sqrt{x}\,e^{-x}\,dx} = \frac{1}{2}\sqrt \pi
\int_0^{+\infty}{e^{-\frac{x^2}{2}}\,dx} = \sqrt{\frac{\pi}{2}} (intégrale de Gauss)
\int_0^{+\infty}{e^{-x^2}\,dx} = \frac{1}{2}\sqrt \pi
\int_0^{+\infty}{\frac{x}{e^x-1}\,dx} = \frac{\pi^2}{6}
\int_0^{+\infty}{\frac{x^3}{e^x-1}\,dx} = \frac{\pi^4}{15}
\int_0^{+\infty}\frac{\sin(x)}{x}\,dx=\frac{\pi}{2} (intégrale de Dirichlet)
\int_0^{+\infty} x^{z-1}\,e^{-x}\,dx = \Gamma(z) (\Gamma\, est la fonction gamma d'Euler, définie pour z > 0)
\int_0^{+\infty}{\frac{x^s}{e^x-1}\,dx} = \Gamma(s+1) \zeta(s+1) (\zeta\, est la fonction zêta, définie pour z > 1)
\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-t^3}}\,dt = \frac{1}{3}\Beta\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{2}\right) (intégrale elliptique)
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(\cos(x))\, dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin(x))\, dx=-\frac{\pi}{2}\ln(2) (intégrales d'Euler)
\int_{-\infty}^{+\infty}\cos(x^2)\,dx=\int_{-\infty}^{+\infty}\sin(x^2)\,dx= \sqrt{\frac{\pi}{2}} (intégrales de Fresnel)
\int_0^{\pi} \ln(1-2\alpha\cos\,x+\alpha^2)\,dx= 2\pi\ln|\alpha| si |\alpha|>1\, et 0\, si |\alpha|\leq 1.
\int_0^{+\infty}{xe^{-x^3}\,dx} = \frac{1}{3}\Gamma\left(\frac{2}{3}\right)
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n(x)\,dx = I_n (intégrales de Wallis)

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