Sommation par parties

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La sommation par parties est l'équivalent pour les séries de l'intégration par parties. On l'appelle également transformation d'Abel ou sommation d'Abel.

Sommaire

[modifier] Méthode

Soient deux suites (a_n) \, et (b_n) \,, avec n \in \N. On considère la série suivante :
S_N = \sum_{n=0}^N a_n b_n

Si on pose B_n = \sum_{k=0}^n b_k ,
alors pour tout n>0, b_n = B_n - B_{n-1} \,

S_N = a_0 b_0 + \sum_{n=1}^N a_n (B_n - B_{n-1})
S_N = a_0 b_0 - a_1 B_0 + a_N B_N + \sum_{n=1}^{N-1} B_n (a_n - a_{n+1})
On obtient finalement l'égalité suivante : S_N = a_N B_N - \sum_{n=0}^{N-1} B_n (a_{n+1} - a_n)

Cette opération, qui transforme l'expression de la série à étudier, est utile pour prouver certains critères de convergence de S_N \, .

[modifier] Similitude avec l'intégration par parties

La formule de l'intégration s'écrit : \int_a^b f(x) g'(x)\,dx = \left[ f(x) g(x) \right]_{a}^{b} - \int_a^b f'(x) g(x)\,dx
Si on laisse de côté les conditions aux limites, on s'aperçoit que l'intégration par parties consiste à intégrer une des deux fonctions présentes dans l'intégrale initiale ( g' \, devient g \, ) et à dériver l'autre ( f \, devient f' \, ).

La sommation par parties consiste en une opération analogue dans le domaine discret, puisque l'une des deux séries est sommée ( b_n \, devient B_n \, ) et l'autre est différenciée ( a_n \, devient a_{n+1} - a_n \, ).

On peut considérer la formule sommatoire d'Abel comme une généralisation de ces deux formules.

[modifier] Applications

On se place par la suite dans le cas où a_N b_N \rightarrow 0, car sinon on sait que (S_N)\, est trivialement divergente.

Si (B_n) \, est bornée par un réel M et que \sum_{n\ge0}(a_{n+1} - a_n) est une série absolument convergente, alors la série (S_N)\, est convergente.

|S_N| \le |a_N B_N| + \sum_{n=0}^{N-1} |B_n| |a_{n+1}-a_n|

La somme de la série vérifie par ailleurs l'inégalité : S = \sum_{n=0}^\infty a_n b_n \le M \sum_{n=0}^\infty |a_{n+1}-a_n|

[modifier] Exemples

  1. a_n = \frac{1}{n+1} et b_n = (-1)^n \,
    |B_n| \le 1 et |a_{n+1}-a_n| = \frac{1}{(n+1)(n+2)} \le \frac{1}{n^2}
    On sait que la série \sum_0^\infty \frac{1}{n^2} converge (voir fonction zêta de Riemann), donc les conditions exposées ci-dessus sont toutes réunies.
    S = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... converge.
    NB: Cet exemple peut également être prouvé grâce au critère de convergence des séries alternées.
  2. a_n = \frac{1}{n} et b_n = \sin(n) \,
    (Nous ne définissons ici la somme qu'à partir du rang n=1 au lieu de n=0, mais cela n'affecte en rien l'existence de la limite de la série.)
    Comme précédemment \sum_{n=1}^\infty (\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n}) converge absolument, et \sum_{k=1}^n \sin(k) est bornée d'après l'expression du noyau de Dirichlet.
    Par conséquent \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(n)}{n} converge.
  3. La sommation par parties sert dans la preuve du théorème d'Abel.