Quotient isopérimétrique

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Soit C une courbe fermée rectifiable. Sa longueur est p et l'aire délimitée par l'intérieure de la courbe est A.

On appelle quotient isopérimétrique Q le rapport entre le rayon radu cercle ayant même aire et le rayon du cercle ayant même périmètre :

Q = \frac{r_A}{r_p^2}\,
Q = \frac{4 \pi A}{p^2}\,

[modifier] Conséquences

  • Pour un polygone à n côtés, on trouve
Q = \frac{\pi}{n \tan \left( \frac{\pi}{n} \right)},

[modifier] Solides de l'espace

Pour un polyèdre, on définit le quotient isopérimétrique par l'analogue à la définition dans le plan en remplçant le cercle de référence par une sphère.

Q = \frac{36 \pi V^2}{S^3}\,

[modifier] Source