Pentadécagone
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Pentadécagone ou pentédécagone : polygone régulier de 15 côtés.
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[modifier] Construction à la règle et au compas
Comme on sait construire le triangle équilatéral et le pentagone régulier, on applique le théorème de Gauss :
3 et 5 étant premiers entre eux, en multipliant par 
la relation de Bezout 2 × 3 - 5 = 1, on obtient l'égalité : 
Sur un cercle, à partir d'un point A, on place un point G tel que 
, le point B tel que 
est le deuxième sommet du polygone régulier de côté AB.
En pratique on trace le pentagone régulier ADGJM (sens direct).
A partir du point G on trace le triangle équilatéral GBL (sens rétrograde).
En reportant 14 fois la longueur AB sur le cercle on obtient le polygone régulier ABCDEFGHIJKLMNP.
[modifier] Pentadécagones croisés
Le nombre de polygones réguliers croisés de n côtés est égal au nombre de nombres premiers avec n contenus dans la suite 2, 3..., (n-1)/2. Il y a trois pentadécagones croisés que l'on obtient en joignant les sommets de deux en deux, quatre en quatre ou sept en sept.
[modifier] Construction avec une médiatrice
Construire le pentagone régulier ADGJM inscrit dans le cercle (c) de centre O.
Placer le point G' symétrique de G par rapport à O.
La médiatrice de [OG’] coupe le cercle (c) en deux points B et L, sommets du pentadécagone.
[modifier] Justification
Le triangle OBG' est équilatéral car OB = OG’ comme rayons et OB = G’B car B est sur la médiatrice de [OG’].
L'angle 
de deux rayons du pentagone est de 
.
.
, angle deux rayons du pentadécagone.
[modifier] Construction au compas
Construire le pentagone régulier ADGJM de centre O.
Placer les points A', D', G', J', M' symétrique de A, D, G, J, M par rapport à O.
Les points du pentadécagone sont les points d'intersection du cercle (c) avec les cercles de centres A', D', G', J', M' passant par le centre O.
[modifier] Justification
G'OB est un triangle équilatéral de côté égaux au rayon r du cercle circonscrit, 
.
Comme ci-dessus on a: (angle au centre du pentagone).
est l'angle au centre du pentadécagone et le point B est bien un sommet.
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