Nombre de Wieferich

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En mathématiques, un nombre premier de Wieferich est un nombre premier p tel que $p^2\,$ divise $2^{p-1} - 1\,$ , comparer ceci avec le petit théorème de Fermat, qui énonce que chaque nombre premier p divise $2^{p - 1} - 1\,$ . Les nombres premiers de Wieferich furent décrits en premier par Arthur Wieferich en 1909 dans ses travaux relatifs au dernier théorème de Fermat.

Sommaire

1 La recherche des nombres premiers de Wieferich
2 Propriétés des nombres premiers de Wieferich
3 Les nombres premiers de Wieferich et le dernier théorème de Fermat
4 Voir aussi
5 Lien externe
6 Lectures pour aller plus loin

[modifier] La recherche des nombres premiers de Wieferich

Les seuls nombres premiers de Wieferich connus sont 1093 et 3511 (Encyclopédie électronique des suites entières (id=A001220), trouvés par W. Meissner en 1913 et N. G. W. H. Beeger en 1922, respectivement ; si d'autres existent, ils doivent être $> 1,25.10^{15}\,$ [1]. Il a été conjecturé qu'il n'existe qu'un nombre fini de nombres premiers de Wieferich ; la conjecture est restée non démontrée jusqu'à aujourd'hui, bien que J. H. Silverman fut capable de montrer en 1988 que si la conjecture abc est valable, alors pour tout nombre entier positif a > 1, il existe une infinité de nombres premiers p tel que $p^2\,$ ne divise pas $a^{p-1} - 1\,$ .

[modifier] Propriétés des nombres premiers de Wieferich

Il peut être montré qu'un facteur premier p d'un nombre de Mersenne $M_q = 2^q - 1\,$ est un nombre premier de Wieferich ssi $p^2\,$ divise $2^q - 1\,$ ; à partir de ceci, il suit immédiatement qu'un nombre premier de Mersenne ne peut pas être un nombre premier de Wieferich. Aussi, si p est un nombre premier de Wieferich, alors $2^{p^2} \equiv 2\,$ mod $p^2\,$ .

[modifier] Les nombres premiers de Wieferich et le dernier théorème de Fermat

Le théorème suivant connectant les nombres premiers de Wieferich et le dernier théorème de Fermat fut prouvé par Wieferich en 1909 :

Soit p un nombre premier, et soient x, y, z des nombres naturels tels que $x^p + y^p + z^p = 0\,$ . De plus, supposons que p ne divise pas le produit xyz. Alors p est un nombre premier de Wieferich.

En 1910, Mirimanoff fut capable de développer le théorème en montrant que, si les prérequis du théorème reste valable pour un certain nombre premier p, alors p doit aussi diviser $3^{p-1}\,$ . Les nombres premiers de cette sorte ont été appelés les nombres premiers de Mirimanoff à l'occasion, mais le nom ne fut pas d'usage mathématique général.

[modifier] Voir aussi

[modifier] Lien externe

[modifier] Lectures pour aller plus loin

A. Wieferich, "Zum letzten Fermat'schen Theorem", Journal für Reine Angewandte Math., 136 (1909) 293-302
N. G. W. H. Beeger, "On a new case of the congruence 2^{p − 1} = 1 (p²), Messenger of Math, 51 (1922), 149-150
W. Meissner, "Über die Teilbarkeit von 2p^p − 2 durch das Quadrat der Primzahl p=1093, Sitzungsber. Akad. d. Wiss. Berlin (1913), 663-667
J. H. Silverman, "Wieferich's criterion and the abc-conjecture", Journal of Number Theory, 30:2 (1988) 226-237