Mesure signée

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En mathématiques, on définit une mesure signée comme étant une mesure pouvant prendre des valeurs négatives.

[modifier] Définition

Soit un espace mesurable (X, Σ), c'est-à-dire un ensemble X muni d'une tribu Σ, une mesure signée est une fonction

\mu:\Sigma\to \mathbb {R}\cup\{\infty,-\infty\}

qui est également sigma additive, c'est-à-dire remplissant la propriété:

\mu\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right) = \sum_{n=1}^\infty \mu(A_n)

pour toute suite A1, A2, ..., An, ... d'ensembles disjoints dans Σ. A noter qu'une mesure signée peut prendre comme valeur +∞ mais pas −∞, ou inversement, puisque l'expresison ∞−∞ est pas définie (voir Droite réelle achevée), et doit donc être évitée.

Pour clarifier, on explicitera le terme de mesure non-négatives pour des mesures n'ayant pas de valeurs négatives, a contrario des mesures signées pouvant prendre des valeurs négatives. On supposera que la valeur -∞ n'est prise par aucune mesure signée (le cas inverse se traitant de manière similaire).