Ensembles disjoints

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En mathématiques, deux ensembles sont dits disjoints s'ils n'ont pas d'éléments en commun. Par exemple, {1,2,3} et {4,5,6} sont deux ensembles disjoints.

[modifier] Explication

De manière formelle, deux ensembles A et B sont disjoints si leur intersection est l'ensemble vide, c'est-à-dire si

A\cap B = \emptyset

Cette définition s'étends à une collection d'ensembles. Une collection d'ensembles disjoints deux à deux ou mutuellement disjoint si tout couple de 2 ensembles de cette collection sont disjoints.

Formellement, soit I un ensemble indexé, et pour chaque i \in I, on définit Ai comme un ensemble. Alors la famille d'ensembles \{A_i/\ i\in I\} est mutuellement disjointe si

\forall (i,j)\in I^2,\ i \neq j,\ A_i \cap A_j = \emptyset

Par exemple, la famille de singletons {{1},{2},{3}} est mutuellement disjointe.

Si {Ai} est une famille mutuellement dijointe, alors l'intersection de tous ses ensembles est vide:

\bigcap_{i\in I} A_i = \emptyset

Cependant, la réciproque est fausse: l'intersection de la famille {{1,2},{2,3},{3,4}} est vide, mais cette famille n'est pas mutuellement disjointe.

Une partition X est une famille de sous-ensembles non vides \{A_i/\ i\in I\} de X telle que les Ai sont mutuellement disjoints et que :

\bigcup_{i\in I} A_i = X

[modifier] Voir aussi