Droite réelle achevée

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En mathématiques, la droite réelle achevée désigne l'ensemble $\overline{\mathbb{R}}$ constitué des nombres réels auxquels on adjoint deux éléments notés $+ \infty$ et $- \infty$ (qui ne sont pas considérés comme des nombres réels) vérifiant les propriétés suivantes :

pour tout réel x, x < $+ \infty$ ,
pour tout réel x, x > $- \infty$

L'addition et la multiplication définis sur l'ensemble des réels restent valables dans la droite achevée, de sorte que :

Addition : pour tout réel x,

x + ( $+ \infty$ ) = ( $+ \infty$ )

x + ( $- \infty$ ) = ( $- \infty$ )

( $+ \infty$ ) + ( $+ \infty$ ) = ( $+ \infty$ )

( $- \infty$ ) + ( $- \infty$ ) = ( $- \infty$ )

Multiplication : pour tout réel strictement positif x (x > 0),

$x \times (+ \infty)$ = ( $+ \infty$ )

$x \times (- \infty)$ = ( $- \infty$ )

pour tout réel strictement négatif x (x < 0),

$x \times (+ \infty)$ = ( $- \infty$ )

$x \times (- \infty)$ = ( $+ \infty$ )

( $+ \infty) \times (+ \infty$ ) = ( $+ \infty$ )

( $+ \infty) \times (- \infty$ ) = ( $- \infty$ )

( $- \infty) \times (- \infty$ ) = ( $+ \infty$ )

en revanche, les expressions

( $+ \infty$ ) + ( $- \infty$ ),

$0 \times (+ \infty)$ et

$0 \times (- \infty)$ n'ont aucun sens.

L'une de ses particularités notables est que tout ensemble inclus dans la droite réelle achevée admet une borne supérieure et une borne inférieure, y compris l'ensemble vide (noté ∅, et qui dans la droite réelle achevée admet $+ \infty$ en tant que borne INFERIEURE, et $- \infty$ en tant que borne SUPERIEURE).

Cet ensemble est très utile en analyse, et particulièrement dans certaines théories de l'intégration.