Limite inductive

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En mathématiques, la notion de limite inductive (parfois appelée limite directe, suivant l'anglais direct limit) est utilisée pour considérer simultanément toute une famille d'objets, par exemple des groupes, liés entre eux par une famille de morphismes, par exemple des morphismes de groupes. Cette notion est duale de celle de limite projective.

Le cadre général pour cette notion est celui des catégories.

[modifier] Définition concrète

Pour fixer les idées, on parle d'abord de limite inductive d'ensembles.

On considère une famille (A_i)_i∈I d'ensembles, indexée par un ensemble I ordonné, et munie d'une famille d'applications f_ij : A_i → A_j pour tout i ≤ j (remarquer l'ordre : du plus petit indice i vers le plus grand j, au contraire d'une limite projective) vérifiant les conditions de compatibilité :

f_ii est l'identité sur A_i,
f_ik = f_jk O f_ij pour tous i ≤ j ≤ k.

La donnée (I, A_i, f_ij) est appelée système inductif d'ensembles. La limite inductive de ce système, notée $A=\varinjlim A_i$ est alors définie comme le quotient de l'union disjointe des ensembles A_i, par la relation d'équivalence :

$\{x_i\in A_i \sim x_j\in A_j \mid \mbox{ il existe } k\geq i,j \mbox{ tel que } f_{ik}(x_i) = f_{jk}(x_j)\}$

On en déduit des applications naturelles φ_i : A_i → A, envoyant chaque élément sur sa classe d'équivalence.

Définir la limite directe pour une structure plus forte demande de disposer d'une généralisation adaptée de la notion d'union disjointe ; le produit libre pour les groupes convient par exemple.

[modifier] Définition par propriété universelle

Soit (X_i, f_ij) un système inductif dans une catégorie C (la définition donnée ci-dessus pour les ensembles s'adapte à n'importe quelle catégorie). La limite inductive X est un objet de la catégorie C muni de flèches φ_i de X_i à valeurs dans X vérifiant les relations de compatibilité φ_i = φ_j O f_ij. > pour tous i ≤ j. De plus, la donnée (X, φ_i) doit être universelle : pour tout autre objet Y muni d'une famille de flèches ψ_i il existe une unique flèche u : Y → X telle que le diagramme :

soit commutatif pour tous i ≤ j. La limite inductive est notée : $X = \varinjlim X_i$ . On parlera de limite inductive des X_i suivant les morphismes de transition f_ij, ou par abus de langage, de limite suivant I, voire tout simplement de limite inductive des X_i.

Contrairement au cas concret de la catégorie des ensembles, où la définition comme quotient de l'union disjointe assure l'existence d'une limite inductive, la limite inductive peut ne pas exister dans une catégorie générale. En revanche, l'unicité si existence est toujours assurée : si X′ est une autre limite inductive, il existe un unique isomorphisme X′ → X qui commute avec les morphismes φ_i.

[modifier] Exemple

Soit p un nombre premier. Pour tout n soit U_n le groupe cyclique des racines pⁿ-ièmes de l'unité dans un corps algébriquement clos. On considère les inclusions comme morphismes de transition. La limite directe de ce système est alors le groupe infini constitué de toutes les racines p-primaires de l'unité.