Lexique de la géométrie riemannienne

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La géométrie riemannienne est un domaine des mathématiques étudiant les propriétés des variétés riemanniennes. Cette page rappelle brièvement les définitions des termes récurrents rencontrés.

Sommaire : Haut - A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

[modifier] A

  • Application conforme : Entre deux variétés riemanniennes, application qui préserve les angles ; de manière équivalente application qui transporte une métrique en une métrique conforme ;
  • Application exponentielle : Application différentiable TM\rightarrow M définie naturellement pour toute variété riemannienne complète, caractérisée par ce que exp(tv) soit la géodésique dont la vitesse au temps 0 est v ;

[modifier] B

[modifier] C

[modifier] E

  • Espace de Hadamard : Variété riemmannienne ou espace métrique simplement connexe de courbure strictement négative.
  • Espace homogène : Variété sur laquelle agit transitivement un groupe de Lie.
  • Espace symétrique : Variété riemannienne admettant en tout point au moins une involution.

[modifier] F

  • Feuilletage riemannien : Feuilletage d'une variété en variétés riemanniennes ;
  • Fibré normal : pour une sous-variété N d'une variété riemannienne M, fibré vectoriel sur N sont la fibre en x est l'orthogonal à TxN ;
  • Fibré riemannien : Fibé vectoriel muni d'une métrique riemannienne ;
  • Flot géodésique : Flot différentiable sur l'espace tangent ou cotangent d'une variété riemannienne, ou sur le fibré en sphères correspondant, défini par la dynamique des géodésiques ;
  • Fonction de Busemann : Fonction continue définie sur un espace (variété riemannienne ou espace métrique) à courbure négative bornée intervenant dans la compactification ; les fonctions de Buseman forment la sphère à l'infini ;
  • Forme harmonique : Forme différentielle dont le laplacien est nul ;
  • Forme de Kähler :
  • Formule des traces de Selberg :

[modifier] G

  • Géodésique : Courbe minimisant localement la distance sur une variété riemannienne ;
  • Géodésique fermée : Géodésique périodique ;
  • Géométrie euclidienne : géométrie d'un espace euclidien ;
  • Géométrie riemannienne : Géométrie d'une variété riemannienne ;
  • Groupe hyperbolique

[modifier] H

  • Holonomie
  • Horosphère

[modifier] I

  • Identités de Bianchi : Identité remarquable portant sur la coubure de la connxion de Levi-Civita ;
  • Inégalité de Bishop-Gromov : Estimation sur le volume des boules d'une variété riemannienne suivant des estimations sur la courbure de Ricci ;
  • Inégalité isopérimétrique : Toute inégalité donnant une majoration du volume riemannien enfermé par une hypsersurface en fonction du volume de cette dernière ;
  • Involution : Isométrie sur une variété riemannienne fixant un point et dont la différentielle en ce point est -Id ;
  • Isométrie : Entre deux variétés riemanniennes, application différentiable envoyant métrique riemannienne sur métrique riemannienne ; ou de manière équivalent, application continue préservant les distances associée ;

[modifier] L

  • Laplacien : Opérateur différentiel défini sur toute variété riemannienne ;

[modifier] M

  • Métrique de Carnot-Carathéodory
  • métrique riemannienne : Collection de formes bilinéaires symétriques définies positives définies sur les espaces tangents d'une variété, avec une certaine régularité dépendant du contexte ;
  • Mouvement brownien : ???
  • Métrique d'Einstein :

[modifier] N

  • Nombre de Betti : Dimensions des espaces de cohomologie de De Rham ;

[modifier] P

[modifier] Q

  • Quasi-isométrie : Applications (pas nécessairement continue) entre variétés riemanniennes ou entre espaces métriques qui ne dilatent pas excessivement les distances.

[modifier] R

  • Rayon de convexité
  • Rayon d'injectivité : plus grand rayon tel que l'application exponentielle soit injective sur les boules tangentes correspondantes ;
  • Revêtement riemannien : Revêtement universel d'une variété riemannienne muni de la métrique tirée en arrière ;
  • Rigidité de Mostow

[modifier] S

[modifier] T

  • Théorème d'Abresch-Meyer
  • Théorème de Bishop
  • Théorème de Bonnet-Schoenberg-Myers
  • Théorème de Brunn-Minkowski
  • Théorème de comparaison
  • Théorème de Gauss-Bonnet
  • Théorème de Hadamard-Cartan : théorème affirmant que le revêtement universel d'une variété riemannienne complète de courbure négative est difféomorphe à une boule ;
  • Théorème de Hopf-Rinow
  • Théorème KAM
  • Théorème de Myer : estimation sur le diamètre d'une variété riemannienne complète en courbure positive ;
  • Transport parallèle

[modifier] V