Hauteurs d'un triangle
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On appelle hauteurs d'un triangle chacune des trois droites passant par un sommet du triangle et perpendiculaire au côté opposé à ce sommet. Les pieds des hauteurs sont les projetés orthogonaux de chacun des sommets sur le côté opposé.
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[modifier] Orthocentre
Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes. Leur point d'intersection H, est nommé orthocentre du triangle.
On considère l'homothétie de centre G centre de gravité du triangle, et de rapport -2. Elle transforme le triangle ABC en un triangle A'B'C'.
Le point I milieu de [BC] a pour image le point A qui est donc le milieu de [B'C']. La hauteur issue de A est perpendiculaire à [BC] donc est perpendiculaire à [B'C'] et passe par son milieu. C'est la médiatrice du segment [B'C'].
On démontre ainsi que les trois hauteurs du triangle ABC sont les trois médiatrices du triangle A'B'C'. Elles sont donc concourantes.
L'orthocentre est le barycentre des points pondérés [A, tan(Â)] ; [B, tan(B)] ; [C, tan(C)].
[modifier] Symétriques de l'orthocentre
Les symétriques A3, B3 et C3 de l'orthocentre H par rapport aux milieux des côtés du triangle se trouvent sur le cercle circonscrit.
Les symétriques orthogonaux A2, B2 et C2 de l'orthocentre par rapport aux côtés du triangle se trouvent également sur le cercle circonscrit.
[modifier] Cercle de Taylor
Soit A', B' et C' les pieds des hauteurs du triangle. On note A2 et A3 les projetés orthogonaux de A' sur les côtés AB et AC du triangle et on définit de même B2 et B3 par rapport à B' et C2 et C3 par rapport à C'. Les six points ainsi définis sont cocycliques : ils sont situés sur le cercle de Taylor du triangle.
On a : (A2A3, BC) = (AB, AC), la droite (A2A3) est antiparallèle de (BC) par rapport à (AB) et (AC), et des propriétés analogues pour (B2B3) et (C2C3).
(B2C2) est parallèle à (BC). De même (A2C3) //(AC) et (A3B3)//(AB).
C'est la configuration d'un cercle de Tücker particulier, dit cercle de Taylor.
On trouve A2A3 = B2B3 = C2C3.
L'hexagone ayant pour sommets ces six projections est l'hexagone de Catalan (mathématicien belge 1814-1894).
[modifier] Centre du cercle de Taylor
Les trois droites (A1A2), (B1B2) et (C1C2) joignant les projections sont parallèles aux côtés du triangle orthique et coupent ses côtés en leurs milieux P, Q et R. Ces droites déterminent le côtés du triangle PQR qui est le triangle médian du triangle orthique.
Si le triangle ABC est acutangle alors le centre du cercle de Taylor est le centre du cercle inscrit dans le triangle médian du triangle orthique.
Si le triangle ABC est obtus alors le centre du cercle de Taylor est un des centre des cercles exinscrits du triangle PQR. Plus précisément, si ABC est obtus en A (respectivement en B, en C), alors le centre du cercle de Taylor est le centre du cercle exinscrit à PQR dans l'angle de sommet P, milieu de [B’C’] (respectivement Q milieu de [C’A’] , R milieu de [A’B’]).
[modifier] Axe orthique
Dans un triangle ABC, soit A' (respectivement B' et C') le pied de la hauteur issue de A (respectivement issue de B et de C).
A1, B1 et C1 sont les trois autres points d'intersection des côtés du triangle ABC et de ceux du triangle orthique A’B’C’ : on note A1 l'intersection de (BC) et de (A'B'), B1 l'intersection de (AC) et de (A'C'), C1 l'intersection de (AB) et de A'B').
Les trois points A1, B1 et C1 sont alignés sur une droite dénommée l'axe orthique du triangle.
L'axe orthique est aussi l'axe radical du cercle circonscrit et du cercle d'Euler.
La droite d'Euler, ligne des centres des deux cercles, est perpendiculaire à l'axe.
[modifier] Démonstrations et références
- Revue Quadrature, Janvier-Mars 2007
- La géométrie du triangle
