Cercle d'Euler

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Cercle et droite d'Euler d'un triangle

En géométrie, le cercle d'Euler d'un triangle (aussi appelé cercle des neuf points, cercle de Feuerbach, cercle de Terquem, cercle médian) est l'unique cercle passant par les neuf points remarquables suivants :

Les trois milieux des trois côtés du triangle ;
Le pied de chacune des trois hauteurs du triangle ;
Le milieu de chacun des trois segments reliant l'orthocentre à un sommet du triangle.

[modifier] Définition et propriétés élémentaires

C'est le mathématicien Leonhard Euler qui a remarqué le premier que dans un triangle $A B C$ le centre de gravité $G$ , le centre du cercle circonscrit $Ω$ et l'orthocentre $H$ sont alignés. (Précisément, l'homothétie de centre $G$ et de rapport $- \frac12$ transforme $H$ en $Ω$ .)

Notons $I 1$ le milieu de $[B C]$ , $I 2$ le milieu de $[A C]$ et $I 3$ le milieu de $[A B]$ . Il n'est pas difficile de voir que cette même homothétie transforme le triangle $A B C$ en le triangle $I 1 I 2 I 3$ et le cercle circonscrit de $A B C$ en cercle circonscrit à $I 1 I 2 I 3$ : ce dernier cercle est précisément le cercle d'Euler.

Comme cette même homothétie transforme chaque hauteur de $A B C$ en l'une de ses médiatrices, on a également que les pieds des hauteurs de $A B C$ sont sur le cercle d'Euler et que chacun des milieux des segments $[A H]$ , $[B H]$ et $[C H]$ sont également sur le cercle d'Euler.

[modifier] Découvertes

En 1821, les mathématiciens français Charles Julien Brianchon (19 décembre 1783 - 29 avril 1864) et Poncelet (1788-1867) démontrent ensemble que les milieux des côtés et les pieds des hauteurs du triangle sont cocycliques : ils mettent ainsi en évidence l'existence d'un cercle passant par ces six points remarquables. L'année suivante, le résultat fut redécouvert par le géomètre allemand Feuerbach (30 mai 1800 – 12 mars 1834). Le cercle d'Euler est aussi appelé cercle de Feuerbach. De plus, toujours en 1822, il démontra que le cercle des 9 points est tangent extérieurement aux cercles exinscrits et tangent intérieurement au cercle inscrit du triangle. Ce résultat s'appelle le théorème de Feuerbach et ajoute quatre nouveaux points remarquables : les points de tangence, appelées points de Feuerbach.

Par la suite, Olry Terquem (16 juin 1782 – 1862) mit en évidence que trois autres points appartiennent à ce cercle : les milieux des segments formés par les sommets du triangle et l'orthocentre. En 1842, Terquem apporta une deuxième preuve au théorème de Feuerbach. Une troisième preuve géométrique fut apportée en 1854.

Depuis, on lui a ajouté quelques dizaines d'autres points remarquables du triangle

[modifier] Quelques propriétés

On montre, en utilisant l'homothétie introduite au premier paragraphe, que :

Le rayon du cercle d'Euler est la moitié du rayon du cercle circonscrit.

Son centre, soit E, est sur la droite d'Euler, on a :

$\overline{GH} = -2 \overline{G\Omega}$ et $\overline{GE}=-{1\over 2}\overline{G\Omega}$

ce dont on déduit que dans un triangle, le centre du cercle d'Euler E, est le milieu de [HΩ], segment joignant l'orthocentre H au centre du cercle circonscrit Ω.