Cercle circonscrit à un triangle

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Médiatrices et cercle circonscrit d'un triangle.

En géométrie du triangle, le cercle circonscrit à un triangle est l'unique cercle passant par ses trois sommets.

Le centre de ce cercle est le point de concours des médiatrices des côtés du triangle. Son rayon peut s'exprimer avec la loi des sinus.

$\frac{a}{\sin\hat A}=\frac{b}{\sin\hat B}=\frac{c}{\sin\hat C}=\frac{abc}{2S}=2R$

où $a$ , $b$ et $c$ désignent les longueurs des trois côtés du triangle et $\hat{A}$ , $\hat{B}$ et $\hat{C}$ désignent respectivement les angles opposés à chacun des côtés $a$ , $b$ et $c$ .

[modifier] Propriétés élémentaires

Propriété: Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes en un point $\Omega \,$ équidistant des trois sommets (qui est aussi le « centre du cercle circonscrit », voir ci-dessous).

Démonstration

Notons $Ω$ l'intersection des deux médiatrices des segments $[A B]$ et $[A C]$ .

$Ω$ est sur la médiatrice de $[A B]$ donc $A Ω = B Ω$ .
$Ω$ est sur la médiatrice de $[A C]$ donc $A Ω = C Ω$ .

Donc $C Ω = B Ω$ : par suite $Ω$ est sur la médiatrice du segment $[B C]$ . Les trois médiatrices sont donc concourantes en $Ω$ .

Propriété: Il existe un et un seul cercle passant à la fois par les trois sommets du triangle. Ce cercle de centre $\Omega \,$ est appelé « cercle circonscrit » au triangle.

Démonstration

Existence: Elle a été prouvée ci-dessus : $A Ω = C Ω = B Ω$ donc le cercle de centre $Ω$ et passant par $A$ passe aussi par $B$ et $C$ .
Unicité: Si un cercle passe à la fois par $A$ et $B$ , son centre appartient à la médiatrice de $[A B]$ . S'il passe par $A$ et $C$ , son centre appartient à la médiatrice de $[A C]$ . Donc, si un cercle passe par les trois points $A$ , $B$ et $C$ , son centre appartient à la fois aux médiatrices de $[A B]$ et de $[A C]$ , c'est-à-dire à leur intersection. Celle-ci se réduit à un point, $Ω$ ; le cercle a donc nécessairement pour centre $Ω$ . Le rayon du cercle est donc égal à $A Ω$ . On a unicité du centre et du rayon, donc du cercle.