Groupe Monstre

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En mathématiques, le Monstre $M$ ou groupe de Fischer-Griess $F 1$ est un groupe simple sporadique d'ordre

$2^{46}.3^{20}.5^9.7^6.11^2.13^3.17.19.23.29.31.41.47.59.71\,$ .

Il a donc 808 017 424 794 512 875 886 459 904 961 710 757 005 754 368 000 000 000 éléments. C'est le plus gros des 26 groupes simples sporadiques.

[modifier] Présentation

C'est un groupe simple, ceci signifiant qu'il n'a aucun sous-groupe normal excepté pour le sous-groupe constitué seulement de l'élément identité, et $M\,$ lui-même.

Les groupes simples finis ont été complètement classés ; il existe 18 familles infinies dénombrables de groupes simples finis, plus 26 groupes sporadiques qui ne suivent aucun motif apparent. Le groupe Monstre est le plus grand de ces groupes sporadiques.

Article détaillé : groupe sporadique.

Son existence a d'abord été conjecturée en 1973 sur la base de sa table des caractères, indépendamment par Fischer et Griess. Le Monstre a 194 classes de conjugaisons.

Il a ensuite été construit en 1982 par Robert Griess comme groupe de rotations d'un espace à 196 883 dimensions.

Il agit par automorphismes sur une algèbre vertex dont les dimensions des composantes homogènes sont données par les coefficients de la fonction modulaire j. La construction donnée par Frenkel, Lepowsky et Meurman utilise le réseau de Leech.

L'ensemble { $2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,41,47,59,71$ } des nombres premiers qui divisent l'ordre du Monstre apparaît aussi dans l'étude des formes modulaires.

[modifier] Existence et unicité

Comme il a été dit ci-dessus, le Monstre fut prévu par Bernd Fischer et Robert Griess en 1973 et fut construit en premier par Griess en 1980 comme le groupe d'automorphisme de l'algèbre de Griess, une algèbre non-associative commutative à 196 884 dimensions. John Conway a simplifié plus tard cette construction.

Les constructions de Griess et Conway montrent que le Monstre existe. John G. Thompson a montré que l'unicité découlerait de l'existence d'une représentation fidèle à 196 883 dimensions. Une preuve de l'existence d'une telle représentation fut annoncée en 1982 par Simon P. Norton, mais les détails n'ont pas encore été publiés. La première preuve publiée de l'unicité du Monstre fut complétée par Griess, Meierfrankenfeld et Segev en 1990.

La table de caractères du Monstre fut calculée en 1979, avant que soit l'existence ou l'unicité du Monstre fut prouvée. Le calcul est basé sur la supposition que le degré minimal d'une représentation fidèle complexe est 196 883.

[modifier] Moonshine

Le groupe Monstre met en évidence des liens dans la conjecture Monstrous Moonshine qui relie les mathématiques discrètes et non-discrètes, qui fut prouvée par Richard Borcherds en 1992.

Dans cet arrangement, le Monstre est visible comme le groupe d'automorphisme du module Monstre, un opérateur d'algèbre vertex, une algèbre de dimension infinie contenant l'algèbre de Griess, et agissant sur l'algèbre de Lie Monstre, une algèbre de Kac-Moody généralisée.

Article détaillé : conjecture Monstrous Moonshine.

[modifier] Une construction informatique

Robert A. Wilson a trouvé explicitement (avec l'aide d'un ordinateur) deux matrices 196 882 x 196 882 sur le corps à 2 éléments qui engendrent le groupe Monstre. Néanmoins, exécuter les calculs avec ces matrices est coûteux prohibitivement en termes de temps et d'espace de stockage. Wilson avec ses collaborateurs ont trouvé une méthode d'exécution de calculs avec le Monstre qui est considérablement plus rapide.

Soit V un espace vectoriel à 196 882 dimensions sur le corps à 2 éléments. Un grand sous-groupe H (un sous-groupe maximal de préférence) du Monstre est sélectionné dans lequel il est facile d'exécuter les calculs. Le sous-groupe H choisi est $3^{1+12}.2.Suz.2\,$ , où Suz est le groupe de Suzuki. Les éléments du Monstre sont stockés comme des mots dans les éléments de H et dans un générateur supplémentaire T. Il est raisonnablement rapide de calculer l'action d'un de ces mots sur un vecteur dans V. En utilisant cette action, il est possible d'exécuter les calculs (tel que l'ordre d'un élément du Monstre). Wilson exhiba des vecteurs u et v dont le stabilisateur commun est le groupe trivial. Ainsi (par exemple) on peut calculer l'ordre d'un élément g du Monstre en trouvant le plus petit i > 0 tel que $g^i u = u\,$ et $g^i v = v\,$ .

Ceci et des constructions similaires (dans différentes caractéristiques) ont été utilisés pour prouver certaines propriétés intéressantes du Monstre (par exemple, pour trouver certains de ses sous-groupes maximaux non-locaux).

[modifier] Références

Jacques Tits, Le Monstre (d'après R. Griess, B. Fischer et al.) dans Séminaire Bourbaki, Vol. 1983/84. Astérisque N⁰ 121-122, (1985), 105--122.
Urmie Ray, Le Monstre au clair de lune : sur les travaux de R. Borcherds, Gaz. Math. No. 78, (1998), 93--98.
R. L. Griess, Jr, The Friendly Giant, Inventiones Mathematicae 69 (1982), 1-102
Griess, Robert L., Jr.; Meierfrankenfeld, Ulrich; Segev, Yoav A uniqueness proof for the Monster. Ann. of Math. (2) 130 (1989), no. 3, 567-602.
Daï F., Le Monstre, édit. Folio Jeunesse, 1971.
P. E. Holmes and R. A. Wilson, A computer construction of the Monster using 2-local subgroups, J. London Math. Soc. 67 (2003), 346--364.
S. A. Linton, R. A. Parker, P. G. Walsh and R. A. Wilson, Computer construction of the Monster, J. Group Theory 1 (1998), 307-337.
Conway, J. H.; Curtis, R. T.; Norton, S. P.; Parker, R. A.; and Wilson, R. A.: Atlas of Finite Groups: Maximal Subgroups and Ordinary Characters for Simple Groups. Oxford, England 1985.
S. P. Norton, The uniqueness of the Fischer-Griess Monster, Finite groups---coming of age (Montreal, Que., 1982), 271--285, Contemp. Math., 45, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1985.
J. H. Conway and S. P. Norton, Monstrous Moonshine, Bull. London Math. Soc. 11 (1979), no. 3, 308--339.