Fonction point d'interrogation

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La fonction point d'interrogation est, en mathématiques, une fonction, notée $?\left(x\right)$ .

Cette fonction fut définie par Hermann Minkowski en 1904 afin de créer une application continue de l'ensemble des nombres irrationnels quadratiques de l'intervalle $\left]0,1\right[$ vers l'ensemble des nombres rationnels dyadiques du même intervalle. La définition courante actuelle fut posée par Arnaud Denjoy en 1938.

[modifier] Définition

Soit $x$ un nombre réel et $[x_0; x_1, x_2, \ldots]$ sa représentation en fraction continue. On pose :

${\rm ?}(x) = x_0 + \sum_{k=1}^\infty \frac {(-1)^{k+1}} {2^{x_1 + \cdots + x_k-1}}$

Cette définition est légitime. Dans le cas d'un nombre irrationnel, la série converge toujours. Dans le cas d'un nombre rationnel, sa fonction continuée se limite à $[x_0; x_1, x_2, \ldots, x_n]$ et deux termes successifs de la série pour $k\ge n$ s'annnulent ; il est alors possible d'écrire :

${\rm ?}(x) = x_0 + \sum_{k=1}^{n-1} \frac {(-1)^{k+1}} {2^{x_1 + \cdots + x_k-1}}$

[modifier] Exemples

$?\left(0\right) = 0$
$\frac {1} {3} = \left[0;1,0,1,1\right]$ : $?\left(\frac {1} {3}\right) = \frac {1} {4}$
$\frac {177} {233} = \left[0;1,3,6,4,2\right]$ : $?\left(\frac {177} {233}\right) = \frac {7193} {8192}$
$?\left(1\right) = 1$
$\sqrt{2} = \left[1;2,2,\ldots\right]$ : $?\left(\sqrt{2}\right) = \frac {7} {5}$

[modifier] Propriétés

La fonction point d'interrogation est strictement croissante.
Elle est absolument continue.
$?\left(x+1\right) = ?\left(x\right)+1$
Si $x$ est un nombre rationnel, $?\left(x\right)$ est un nombre rationnel dyadique.
Si $x$ est un nombre irrationnel quadratique, sa fraction continuée est périodique et $?\left(x\right)$ est un rationnel non-dyadique.
Si $\frac {p} {q}$ et $\frac {p'} {q'}$ sont deux fractions irréductibles telles que $\left|pq'-p'q\right|=1$ (deux éléments successifs d'une suite de Farey), $?\left(\frac {p+p'} {q+q'}\right) = \frac {1} {2} \left(?\left(\frac{p}{q}\right) + ?\left(\frac{p'}{q'}\right) \right)$
La fonction point d'interrogation est un cas particulier des courbes fractales de de Rham.

[modifier] Voir aussi

[modifier] Liens internes

Théorie des nombres

[modifier] Liens externes

(en) Minkowski's Question Mark Function (MathWorld)

[modifier] Références

H. Minkowski, Verhandlungen des iii internationalen mathematiker-kongresses in heidelberg, (1904) Berlin.
A. Denjoy, Sur une fonction reelle de Minkowski, J. Math. Pures Appl. 17 (1938) p105-151.
Biblioni, L., Paradis, J., Viader, P., A New Light on Minkowski's ?(x) Function, Journal of Number Theory, 73 (1998), 212-227
Biblioni, L., Paradis, J., Viader, P., The Derivative of Minkowski's Singular Function, Journal of Mathematical Analysis and Applications, (2001) 107-125
Conley, Randolph M. A Survey of the Minkowski ?(x) Function, Master's Thesis, West Virginia University, (2003)
Vepstas, Linas, The Minkowski Question Mark and the Modular Group SL(2,Z), (2004)
Vepstas, Linas, Modular Fractal Measures, (2004).