Fonction arctangente

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Représentation graphique

La fonction arctangente est la fonction réciproque de la restriction de la fonction tangente à l'intervalle $]-½ π; ½π[$ . Notée naguère $arctg$ , elle se note désormais $arctan$ .

Concrètement, si $x$ appartient à $]-½π ; ½π[$ et $y$ appartient à $ℝ$ :

$y = \tan x \Leftrightarrow x = \arctan y$

La courbe représentative de la fonction arctangente est obtenue à partir de la courbe représentative de la restriction de la fonction tangente à l'intervalle $]-½π ; ½π[$ par une réflexion d'axe la droite d'équation $y = x$ .

[modifier] Développement en série de Taylor

Le développement en série de Taylor de la fonction arctangente est :

$\arctan x=\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}= x - \frac13 x^3 + \frac15 x^5 - \frac17 x^7+ \cdots$

Cette série entière converge quand $|x|\le 1$ et $x\neq\pm i$ . La fonction arctangente est cependant définie sur tout $\R$ .

Le développement en série peut être utilisé pour effectuer un calcul approché du nombre π : la formule la plus simple est le cas $x = 1$ , appelée formule de Leibniz

$\frac\pi4=1-\frac13+\frac15-\frac17+-\ldots$

La formule de Machin, plus sophistiquée,

$\frac\pi4=4\arctan\frac15-\arctan\frac1{239}$

fut utilisée par John Machin en 1706 pour calculer les 100 premières décimales de $π$ et par William Shanks en 1873 pour calculer les 707 premières décimales, sur lesquelles seules 527 étaient justes.

[modifier] Équation fonctionnelle

De $arctan(1 ⁄ x)$ on peut déduire $arctan(x)$ et inversement :

$\forall x\in{\R_+^*},\ \arctan \frac{1}{x} + \arctan x= \frac{\pi}{2}$

$\forall x\in{\R_-^*},\ \arctan \frac{1}{x} + \arctan x= -\frac{\pi}{2}$

Ces équations fonctionnelles peuvent se prouver par exemple en montrant que la dérivée est nulle. On a :

$\arctan'(x) = \frac{1}{1+x^2}$

$\left(\arctan\frac{1}{x}\right )' = \frac{-1}{x^2} \cdot \frac{1}{1+{\frac{1}{x^2}}} = \frac{-1}{1+x^2}$

donc

$\left(\arctan \frac{1}{x} + \arctan x\right)' = 0$

On en déduit que $arctan(1 ⁄ x) + arctan(x)$ est constante par morceau sur chaque intervalle de son ensemble de définition, et on trouve facilement la valeur de cette constante en calculant la valeur prise en $x = 1$ et $x = - 1$ .

[modifier] Fonction réciproque

Par définition, la réciproque de la fonction arctangente est la fonction tangente :

$\forall x \in \R, \forall y \in \left]-\frac\pi 2;\frac\pi 2\right[,\ y = \arctan x \Leftrightarrow x = \tan y$

[modifier] Dérivée

$\arctan'(x) = \frac{1}{1+x^2}$

que l'on démontre très facilement en dérivant les 2 membres de la relation : $tan(a r c t a n (x)) = x$

Démonstration détaillée

On utilise la formule de la dérivation d'une composée de fonction :

$\forall x \in \mathbb R \quad \frac d{dx} \tan\circ \arctan (x) = \left(\frac d{dx} \tan\right)\circ \arctan (x)\cdot \frac d{dx} \arctan (x)$

En utilisant la formule de la dérivée d'une tangente, on obtient :

$\frac d{dx} \tan\circ \arctan (x) = \Big( 1 + (\tan \circ \arctan)^2 (x)\Big)\cdot \frac d{dx} \arctan (x)= (1+x^2)\cdot \frac d{dx}\arctan (x)$

Comme les fonctions tangente et arctangente sont réciproques, leur composition est égale à la fonction identité de dérivée constante 1. On en déduit l'expression recherchée :

$(1+x^2)\cdot \frac d{dx}\arctan (x) = 1\quad \text{et}\quad \forall x \in \mathbb R \quad \frac d{dx}\arctan(x) = \frac 1{1+x^2}$

[modifier] Intégration

La fonction arctangente joue un rôle important dans l'intégration des expressions de la forme

$\frac1{ax^2+bx+c}.$

Si le discriminant $D = b 2 - 4 a c$ est positif ou nul, l'intégration est possible en revenant à une fraction partielle. Si le discriminant est négatif, on peut faire la substitution par

$u=\frac{2ax+b}{\sqrt{|D|}}$