Espace quasimétrique

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En mathématiques, un espace quasimétrique est un cas particulier d'espace hémimétrique, qui généralise ainsi la notion d'espace métrique — ne nécessitant pas la condition de symétrie.

De tels espaces apparaissent parfois en théorie des graphes.

[modifier] Définition

Un espace quasimétrique $\left( M,\mathrm{d} \right)$ est la donnée d'un ensemble $M$ et d'une fonction $\mathrm{d}:M\times M\to\mathbb{R}$ , appelée fonction quasimétrique (ou quasimétrique), qui vérifie les conditions suivantes :

$\forall x,y \in M, \quad \mathrm d \left(x,y\right)\ge0$ (positivité) ;
$\forall x,y \in M, \quad \mathrm d \left(x,y\right)=0\mbox{ si et seulement si} x=y$ ;
$\forall x,y,z \in M, \quad \mathrm d \left(x,z\right)\le\mathrm d \left(x,y\right)+\mathrm d \left(y,z\right)$ (inégalité triangulaire).

Si $\left( M ,\mathrm{d} \right)$ est un espace quasimétrique, un espace métrique $\left( M,\mathrm{d}'\right)$ peut toujours être formé en posant :

$\mathrm{d}' \left(x,y\right)=\frac{\mathrm{d}\left(x,y\right)+ \mathrm d \left(y,x\right)}{2}$ .

[modifier] Exemple

Considérons un système de routes, dont certaines sont éventuellement à sens unique : la distance d'un endroit à un autre en passant par la route est une quasimétrique.