Ensemble grand-canonique

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Physique statistique
Théorie cinétique des gaz
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En physique statistique, l’ensemble grand-canonique est un ensemble statistique, dans lequel chaque système est en équilibre avec un réservoir externe d'énergie et de particules. Cela signifie que le système peut échanger de l’énergie et des particules avec le réservoir, autrement dit, l’énergie et le nombre de particules sont alors amenés à fluctuer d’un système à un autre de l’ensemble.

Cet ensemble est utilisé lorsque le nombre de particules ne peux pas être fixés, plus particulièrement pour les systèmes composés de bosons et de fermions.

Sommaire

[modifier] Introduction

Dans cette ensemble, on considère que le système est composé de particules identiques[1], et on introduit le potentiel chimique, pour prendre en considération la variation du nombre de particules. Le réservoir doit être considéré grand devant le système, afin que les échange d’énergie et de particules n’influent pas[2] sur la température du réservoir, et donc sur la température du système. Le réservoir doit alors se comporter comme un thermostat et imposer sa température au système.

On considère l’hamiltonien[3] du système défini comme :

\hat H = \sum_{i=1}^{N} \hat h(i)

où \hat h(i) |i\rangle = E_i |i\rangle est l’équation de Schrödinger pour chaque particule i.

Pour chaque ensemble miscrocopique |n\rangle , on a alors l’énergie et le nombre de particules associés :

E \left(|n\rangle\right) = \sum_i E_i n_i
N \left(|n\rangle\right) = \sum_i n_i

Suivant que le système considéré est composé de bosons, ou de fermions, ni est soumis au conditions suivantes :

n_i =\begin{cases} 0,...,\infty & \text{pour les bosons } \\ 0,1 & \text{pour les fermions} \end{cases}

[modifier] Observable miscrocopique

[modifier] Fonction de partition

La fonction de partition est défini comme étant :

\Xi = \sum_{\{|n_i\rangle\} } e^{ -\beta \big[ E \left(|n\rangle\right) - \mu N\left(|n\rangle\right)\big] } = \sum_{ \{ |n_i \rangle \} } e^{ -\beta \sum_i \left(E_i - \mu \right)n_i }

où {\{|n_i\rangle\} } représente l’ensemble statistique de tous les ensemble miscrocopique |n\rangle .

On peut[3] écrire Ξ comme :

\Xi = \big( \sum_{n_1} e^{ -\beta \left(E_1 - \mu \right)n_1 } \Big) \big( \sum_{n_2} e^{ -\beta \left(E_2 - \mu \right)n_2 } \Big)... = \prod_i \Xi_i

avec \Xi_i = \big( \sum_{n_i} e^{ -\beta \left(E_i - \mu \right)n_i } \Big), qui représente la fonction de partition d'un système d'une seule particule.

[modifier] Probabilité d'un micro-état

La probabilité pour que le système soit dans un micro-état i est défini par :

p_i = \frac{e^ { -\beta \left(E_i - \mu \right)n_i }} {\Xi}

où \sum_{i} p_i \ = \ 1

[modifier] Observables macroscopique

[modifier] Notes

  1. ↑ il est aussi possible de considérer un système avec des particules différentes.
  2. ↑ la variation de température du réservoir doit être négligeable
  3. ↑ a  b  dans ce cas, il n’y a pas d’interactions entre les particules du systèmes

[modifier] Voir aussi

[modifier] Articles connexes

Tableau résumant
les ensembles
en physique statistique		 Ensembles :
Microcanonique Canonique Grand-canonique
Variables fixes E, N, V ou B T, N, V ou B T, μ, V ou B
Fonction microscopique nombre des micro-états

Ω		 Fonction de partition canonique

Z = \sum_k e^{-\beta E_k}		 Fonction de partition grand-canonique

\Xi \ = \ \sum_i e^{ -\beta (E_k - \mu N_k ) }
Fonction macroscopique S \ = \ k_B \ \ln \Omega F \ = \ - \ k_B T \ \ln Z G=- \ k_B T \ln \Xi

[modifier] Bibliographie

  • Bernard Diu, Claudine Guthmann, Danielle Lederer et Bernard Roudet, Éléments de physique statistique, 1996 [détail des éditions]
  • Frederic Reif, Physique Statistique, Cours de Physique de Berkeley (vol. 5), Armand Colin (1972) 398 pp. réédité par Dunod.