Distribution exponentielle

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Exponentielle
Densité de probabilité / Fonction de masse
Densité
Fonction de répartition
Fonctions de répartition
Paramètres \lambda > 0 \, (réel)
Support x \in [0;\infty)\!
Densité de probabilité (fonction de masse) λe − λx
Fonction de répartition 1 − e − λx
Espérance \lambda^{-1}\,
Médiane (centre) \ln(2)/\lambda\,
Mode 0\,
Variance \lambda^{-2}\,
Asymétrie (skewness) 2\,
Kurtosis (non-normalisé) 6\,
Entropie 1 - \ln(\lambda)\,
Fonction génératrice des moments \left(1 - \frac{t}{\lambda}\right)^{-1}\,
Fonction caractéristique \left(1 - \frac{it}{\lambda}\right)^{-1}\,


En statistiques et en probabilités, la distribution exponentielle est souvent utilisée afin de modéliser le temps d'attente avant un événement spécifié. Par exemple, la distribution exponentielle pourrait être utilisée pour décrire le temps écoulé entre deux coups de téléphone reçus au bureau, ou le temps écoulé entre deux accidents de voiture dans lequel un individu donné est impliqué.

Sommaire

[modifier] Propriété d'absence de mémoire

Une propriété importante de la distribution exponentielle est l'absence de mémoire. Cette propriété se traduit mathématiquement par l'équation suivante:

P(T > s + t\; |\; T > t) = P(T > s) \;\; \forall\ s, t \ge 0.

Imaginons que X représente la durée de vie d'une ampoule électrique avant qu'elle ne brûle: la probabilité qu'elle dure au moins s+t heures sachant qu'elle a déjà duré t heures sera la même que la probabilité de durer s heures à partir de sa mise en fonction initiale. En d'autres mots, le fait qu'elle n'ait pas brûlé pendant t heures ne change rien à son espérance de vie à partir du temps t.

[modifier] Spécification de la distribution exponentielle

[modifier] Densité de probabilité

The densité de probabilité de la distribution exponentielle prend la forme

f(x;\lambda) = \left\{\begin{matrix} \lambda e^{-\lambda x} &,\; x \ge 0, \\ 0 &,\; x < 0. \end{matrix}\right.

où λ > 0 est un paramètre. La distribution a pour support l'intervalle [0,∞).

[modifier] Fonction de répartition

La fonction de répartition est donnée par

F(x;\lambda) = \left\{\begin{matrix} 1-e^{-\lambda x}&,\; x \ge 0, \\ 0 &,\; x < 0. \end{matrix}\right.

[modifier] Moyenne et variance

La moyenne ou espérance de X avec paramètre λ est

\mathbf{E}[X] = \frac{1}{\lambda}

sa variance est

\mathbf{V}[X] = \frac{1}{\lambda^2}.

[modifier] Références