Fonction caractéristique d'une variable aléatoire

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La fonction caractéristique d'une variable aléatoire réelle X est la fonction à valeurs complexes définie sur $\R$ par $\phi_X(t) = E[e^{itX}]\,$ . Si cette variable aléatoire a une densité alors la fonction caractéristique est la transformée de Fourier inverse (à un facteur $\ 2\pi \,$ près suivant la convention) de la densité.

(Il arrive que l'on prenne $\phi_X(t) = E[e^{2i\pi tX}]\,$ ).

Plus généralement, la fonction caractéristique d'une variable aléatoire X à valeurs dans $\R^d$ est la fonction à valeurs complexes définie sur $\R^d$ par $\phi_X(u) = E[e^{i \langle u , X \rangle}]\,$ où $\langle u , X \rangle\,$ est le produit scalaire de u avec X.

Lorsque la variable aléatoire X est discrète, on définit sa fonction génératrice par $G (z) = E [z X]$ avec z complexe (quand cela a un sens). Avec les notations précédentes on a donc $φ X (t) = G (e i t)$ ; cette fonction G est donc en fait un prolongement de $φ X$ .

[modifier] Propriétés de la fonction caractéristique

Elle détermine de façon unique la loi d'une variable aléatoire au sens où $\phi_X=\phi_Y\,$ (égalité de fonctions) équivaut à " $X\,$ et $Y\,$ ont la même loi."

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes, $\phi_{X+Y}=\phi_{X}\,\phi_{Y}$ . Plus généralement, si $X_1, \ldots, X_n$ sont des variables aléatoires indépendantes dans leur ensemble, alors $\phi_{X_1+\cdots+X_n}=\phi_{X_1}\cdots\phi_{X_n}$ .

En appliquant alors la transformée de Fourier à

φ X + Y

cela permet de retrouver la loi de X+Y.

Il y a aussi une relation entre les moments et la fonction génératrice d'un variable aléatoire. Lorsque les moments existent et que la série converge :