Densité de probabilité

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En mathématiques statistiques, on appelle densité de probabilité d'une variable aléatoire X réelle continue une fonction f

  • positive ou nulle sur \mathbb{R} ;
  • intégrable sur \mathbb{R} ;
  • vérifiant \int_{\mathbb{R}}f(t)\,dt = 1

La probabilité P(a < X \le b) se calcule alors par la relation suivante :

P \left( a < X \le b \right)=\int_a^b f\left( t \right)\,dt

En traçant la représentation graphique de la densité de probabilité, la probabilité P(a < X < b) se lit comme l'aire sous la courbe sur l'intervalle [a ; b].

Sommaire

[modifier] Lien entre distribution discrète et distribution continue

La définition ci-dessus permet de représenter la variable associée à une distribution continue de probabilités comme un ensemble de variables discrètes binaires associées à des intervalles [a ; b][1].

Il est également possible de représenter certaines variables aléatoires discrètes à l'aide d'une densité de probabilité, par l'intermédiaire de la fonction δ de Dirac.

Par exemple, considérons la variable aléatoire binaire discrète prenant pour valeurs -1 ou 1, avec pour probabilité ½ chacune. Alors la densité de probabilité associée à cette variable est :

f\left(t \right) = \frac{1}{2} \left( \delta \left( t+1 \right) +\delta\left(t-1\right) \right)

Plus généralement, si une variable discrète est susceptible de prendre n valeurs parmi les nombres réels, alors la densité de probabilité associée est :

f\left(t\right) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^nP_i\,\delta\left(t-x_i\right),

où x_1, \ldots , x_n sont les valeurs discrètes accessibles à la variable et P_1, \ldots , P_n sont les probabilités associées à ces valeurs.

Cette expression permet de déterminer les caractéristiques statistiques telles que l'espérance, la variance et la kurtosis d'une telle variable discrète à partir des formules prévues pour une distribution continue.

En physique, cette description est également utile pour caractériser l'instant initial d'un mouvement brownien.

[modifier] Définition non-formelle de la densité de probabilité

La définition qui suit est une reformulation de la définition intégrale proposée en début d'article. C'est la définition utilisée en général par les physiciens, en particulier ceux issus du domaine de la physique statistique.

Si dt est un nombre réel positif infiniment petit, alors la probabilité d'obtenir X inclus dans l'intervalle [t ; t + dt] est égale à f\left(t\right)\mathrm dt, soit:

P \left(t < X < t+ \mathrm dt \right)= f\left(t\right)\,\mathrm dt

[modifier] Espérance et variance

E\left(X\right) = \int_{-\infty}^{\infty}t.f(t)\,dt
E\left(X^2\right) = \int_{-\infty}^{\infty}t^2.f(t)\,dt
V\left(X\right) = E\left(X^2\right) - \left[ E\left(X\right)\right]^2 (théorème de König-Huyghens)

[modifier] Voir aussi

[modifier] Notes et références

  1. ↑ Par exemple, une variable valant 1 si X est dans [a ; b], où 0 sinon.

[modifier] Articles connexes