Cercle circonscrit

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En géométrie, un cercle circonscrit à un polygone est un cercle passant par tous les sommets du polygone. Le polygone est alors dit inscrit dans le cercle: on parle de polygone inscriptible.

Cercles circonscrits à des triangles

Sommaire

1 Cas particuliers
2 Voir aussi

[modifier] Cas particuliers

[modifier] Triangle

Le centre du cercle circonscrit à tout triangle est donné par l'intersection des médiatrices de ce triangle. Et le Rayon R de ce cercle vaut

${BC \over(2.\sin{BAC})}$

Tout triangle est inscriptible, c'est à dire qu'il ne possède qu'un seul cercle circonscrit.

[modifier] Triangle rectangle

Le cercle circonscrit à un triangle rectangle a la particularité d'admettre pour diamètre l'hypoténuse de ce triangle rectangle. Le centre du cercle circonscrit se trouve donc au milieu de l'hypoténuse. Son rayon vaut:

$R = {\text{hypot} \acute \text{e} \text{nuse} \over 2} = {\sqrt{\text{c} \hat \text{ot} \acute \text{e} \ \text{oppos} \acute \text{e}^2 + \text{c} \hat \text{ot} \acute \text{e} \ \text{adjacent}^2} \over 2}\,$

On note également que tout triangle inscrit dans un cercle et dont le plus long côté est un diamètre de ce cercle est un triangle rectangle, d'après le théorème de Thalès.

[modifier] Triangle tangentiel

Pour un triangle ABC, de cercle circonscrit (c), les tangentes à (c) en A, B, C forment un triangle T₁T₂T₃ dit tangentiel de ABC.

Les symédianes joignent les sommets du triangle aux sommets du triangle tangentiel.
Elles sont concourantes et leur point de concours est le point de Lemoine.

[modifier] Voir aussi

Liste des éléments remarquables d'un triangle

[modifier] Rectangle

Tout rectangle (et donc tout carré) possède un cercle circonscrit dont le centre se trouve à l'intersection de ses diagonales, et dont le rayon vaut, comme pour le triangle rectangle:

$R = {\sqrt{\text{Longueur}^2+\text{largeur}^2} \over 2}\,$