Symédiane
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[modifier] Définition
Par chacun des sommets d'un triangle ABC on trace la médiane et la bissectrice. Les symédianes du triangle sont les droites symétriques des médianes par rapport aux bissectrices[1].
La symédiane en un sommet A d'un triangle est l'isogonale de la médiane par rapport aux côtés de l'angle Â.
[modifier] Point de Lemoine
Émile Lemoine a démontré que les trois symédianes d'un triangle sont concourantes. Leur point d'intersection s'appelle le point de Lemoine du triangle ABC.
Les distances de ce point aux trois côtés du triangle sont proportionnelles à ses côtés.
Le point de Lemoine est barycentre de (A,a2), (B,b2), (C,c2).
C'est le point dont la somme des carrés des distances aux côtés du triangle est minimale.
Ce point est aussi appelé point de Grèbe par les auteurs allemands.
[modifier] Droite de Lemoine
La droite de Lemoine du triangle est la polaire du point de Lemoine par rapport au cercle circonscrit du triangle.
[modifier] Milieu d'une antiparallèle
La symédiane coupe une antiparallèle au côté opposé en son milieu.
En effet, dans le triangle ABC, soit (DE) une antiparallèle à (BC) qui coupe la symédiane de sommet A en M. L' antiparallèle (DE) est parallèle à la tangente en A au cercle circonscrit de ABC.
Par la symétrie d'axe la bissectrice (AI) de BÂC, les points D, M, E ont pour images D’, M’, E’. (D’E’) est parallèle à (BC). M’, situé sur la médiane [AA’], est le milieu de [D’E’]. Par symétrie réciproque, M est le milieu de [DE].
Autre démonstration
Dans le triangle ABC, soit M le milieu de (DE) une antiparallèle à (BC). Montrons que (AM) est la symédiane passant par A :
En effet la droite (AM) est conjuguée harmonique de la tangente en A à (Γ) par rapport à (AB, AC). La droite (AM) est donc la polaire, par rapport à (Γ) du point T, intersection de (BC) avec la tangente en A à (Γ). Par réciprocité polaire, la droite (AM) contient le pôle T1 de (BC). (AM) est la symédiane issue de A.
Application : cercles de Tücker
Rérérences
