Arrangement avec répétition
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Un arrangement avec répétition en mathématiques, se produit lorsque nous rangeons dans un certain ordre k objets, choisis parmi n objets discernables, chaque objet pouvant être répété, nous pouvons représenter les différents rangements par des k-uplets (ou des k-listes). Par exemple, quand nous tirons successivement avec remise k boules dans une urne contenant n boules numérotées de 1 à n, nous pouvons représenter ces tirages par des k-listes de boules ou par des applications de {1, 2, ..., k} dans l'ensemble des boules.
Il y a plusieurs définitions d'un arrangement avec répétition.
Définition :
Étant donnés un ensemble fini E de cardinal n (n ∈ ℕ⁎) et k un entier naturel, un k-arrangement avec répétition d'éléments de E, ou arrangement avec répétition de n éléments pris k à k, est un k-uplet d'éléments de E. Un tel k-uplet est aussi appelé une k-liste d'éléments de E.
Définition :
Étant donnés un ensemble fini E de cardinal n (n ∈ ℕ⁎) et k un entier naturel, un k-arrangement avec répétition d'éléments de E, est une application de {1, 2, ..., k} dans E.
[modifier] Nombre d'arrangements avec répétition
Théorème :
Soient E un ensemble fini de cardinal n (n ∈ ℕ⁎) et k un entier naturel. L'ensemble des arrangements avec répétition est fini et son cardinal est égal à nk.
Démonstration :
- Cas où un arrangement avec répétition est un kuplet.
L'ensemble des k-arrangements avec répétition de E n'est autre que Ek=E × E × E × ... × E (k fois) et
.
- Cas où un arrangement avec répétition est une application de {1, 2, ..., k} dans E.
Pour construire une application de {1, 2, ..., k} dans E, il suffit de- choisir l'image de 1 et il y a n choix possibles,
- choisir l'image de 2 et il y a encore n choix possibles,
- etc.
- et enfin choisir l'image de k et il y a toujours n possibilités.
- D'où au total n × n × ... × n=nk applications différentes.
[modifier] Exemple
En morse, les mots sont écrits avec un alphabet de deux symboles ─ et ●. Soit k un entier naturel non nul. Un mot de k lettres est un k-arrangement avec répétition de l'ensemble { ─ , ● }, donc il y a 2k mots d'exactement k lettres.
